P11969 「ALFR Round 7」T2 Game

首先做这种题需要一种感觉，经过常数次操作后，操作一定是往复交换一对位置，就不会改变了。

再仔细一想，最后一个动的人基本上决定了字典序的大小，按照 \(t\) 奇偶分类，看最后是谁操作。

如果 \(t\) 是奇数，最后一次操作必定是先手，先手会动第一个 \(a_i \ne i\) 的位置，后手无论怎么动，都能被先手抵消掉操作，所以此时先手第一次操作就奠定了最后的局面。

如果 \(t\) 是偶数，稍微复杂一点，要看 \(a_1\) 是否为 \(n\)，如果为 \(n\)，那么先手第一步会把 \(1\) 换过来，此时后手就成为了先手，他一定会把 \(n\) 换回去，不断抵消，如果先手第一步不把 \(1\) 换过来，那么他就永远失去了换第一位的能力，反而会让后手将后面 \(n - 1\) 位字典序调大。

如果不为 \(n\)，先手此时无论怎么操作，后手最后一次一定能将 \(n\) 换到 \(a_1\)，所以只需要对于后面 \(n - 1\) 个数，考虑和奇数一样的做法即可。