UOJ Round #31 A 决战库尔斯克

题目意思很简单，但是取模这个条件限制是很强的，一般我能想到的就是分组或者根号分治，这里显然考虑前者。

考虑按照什么分组，比较简单的，我们可以将数组从大到小排序，此时将所有 \(a_i > \frac{a_1}{2}\) 的分成一组，剩下的分成一组，那么显然第一组内的答案是极差，第二组内的答案可以递归算，显然最多只会递归 \(O(\log V)\) 层，现在我们考虑两组之间的贡献。

考虑令第一组为 \(s\)， 第二组 \(t\)，假如我们枚举 \(t_i\)，考虑它有贡献的必要条件是 \(t_i > ans\)。此时仍然注意不到一些有用的性质，我们不妨从分组的性质入手，研究一下这个 \(ans\) 的性质。

此时 \(ans\) 最劣为 \(s\) 的极差，也就是 \(ans < \frac{s_{\max}}{2}\)，此时 \(ans = s_{\max} - s_{\min}\)，我们设 \(s_{\max} = xt_i + y(y < t_i), s_{\min} = pt_i + q(q < t_i)\)，此时满足 \((x - p)t_i + y - q = ans\)，又因为 \(t_i > ans\)，所以 \((x - p)t_i + y - q < t_i\)，注意到 \(|y - q| < t_i\)，该式子仅考虑整数，所以将其化为 \((x - p)t_i < 2t_i\)，此时 \(t_i > 0\)，所以 \(x - p < 2\)，也就是说，\(x\) 与 \(p\) 差值最多是 \(1\)。仔细思考这意味着什么，意味着 \(s\) 中的数对 \(t_i\) 的商最多只有两个不同的数，对于相同的商，我们可以二分寻求答案的最大值，这样就简单的做完了。

分析一下复杂度，最劣大概是 \(O(n \log n \log V)\) 的，不过写写就知道远远达不到这个上界，这个题比较关键的还是发现最多只有两个不同商的性质，以及第一步的分组是极为关键的。