一些比较好的 DS 技巧和题目

[Ynoi2015] 即便看不到未来

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给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(q\) 次询问，每次询问你一段子区间排序去重后长度分别为 \(1 \sim 10\) 的极长值域连续段个数。

\(1 \le n, V, q \le 10^6\)。

solution

考虑离线扫描线处理，按照 \(r\) 右端点排序，对于所有左端点进行处理。

定义 \(lst_i\) 为值 \(i\) 在当前枚举过程中上一次出现的位置，如果当前扫描线枚举到 \(i\)，那么按照我们的处理方法，\(lst_{a_i}\) 之前的位置已经没有处理的必要了，因为我们已经有了一个新的 \(a_i\)，\(lst_{a_i}\) 这个位置在我们枚举到它的时候已经处理过了。

发现只需要求长度为 \(1 \sim 10\) 的极长值域连续段个数，所以对于当前的值 \(a_i\)，可能造成贡献的值只在 \([a_i - 11, a_i + 11]\) 这个范围内，考虑将这个范围内的每个数 \(j\) 求出在 \([lst_{a_i}, i]\) 这个范围内的 \(lst_j\)，这将是有用的 \(j\) 最后一次出现的位置。

然后我们从后往前扫，如果扫到了一个有用的值 \(j\)，那么只会有三种情况：

• 接在一个极长值域连续段大的那边。
• 接在一个极长值域连续段小的那边。
• 连通左右两个极长值域连续段。

那么我们暴力将每个 \(j\) 左右可扩展的最长值域连续段求出来，然后按照上述三种情况，先把原先的最长值域连续段删掉，然后再将新的最长值域连续段给加上，不难发现，这些新的贡献可以贡献到对应的一段区间上，于是用一棵树状数组维护即可。

[国家集训队] 数颜色 / 维护队列

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单点修改，区间数颜色。

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没有什么好说的，带修莫队第一次写。

考虑将时间轴 \(t\) 带入莫队中，更新的时候我们将修改次数跳到目前询问需要的修改次数即可，注意在修改的时候看一下询问区间是否在修改区间内，然后修改一次后将其与原值取反，因为我下一次做这个更改操作肯定时撤销而不是加入。

[CTSC2018] 混合果汁

[THUPC2017] 天天爱射击

Restore Permutation

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你有一个排列 \(a\)，定义 \(b_i = \sum_{j = 1}^{i - 1} [a_j < a_i] \times a_j\)，现在给出 \(b\)，要求构造一组 \(a\)。

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从后往前考虑，我们二分一下目前哪个数可以被选（具体来说，由于我是从后往前填，不用担心互相影响），用树状数组维护即可（树状数组上倍增即可做到单 \(\log\)）。

Tree Queries

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写一个不用脑子的做法。

首先，离 \(x\) 最远的点肯定是直径中的一个端点，这个很重要，然后我们换根的话，就是分子树内和子树外搞一下 DFS 序，然后不能取到的点只有 \(O(k)\) 段，我们用贪心求区间并把他们合并一下，那么剩下的点的直径的端点之一就是离 \(x\) 最远的点了，同样也是 \(O(k)\) 个区间，相当于我要区间求直径，然后直径合并，这个东西很明显是可以直接线段树处理一下，大力分类讨论即可。

然后我们需要 \(O(1)\) 求 \(LCA\) 做到单 \(log\)，具体可以看 Wei 老师的 DFS 序 \(O(1)\) 求 LCA。

[Code+#1] Yazid 的新生舞会

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这里应该写一个 \(3\) 只 \(\log\) 的分治写法。

「TOCO Round 1」History

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这里我只想介绍一下如何将结点 \(x\) 第 \(k\) 层对应的 BFS 序左右端点二分出来，具体来说需要利用如下两条性质：

1. 同一层 BFS 连续且递增。
2. 一个点的序列 \(s\) 中 BFS 序递增，那么这些点的若干级祖先的 BFS 序一定不降。

第二点很重要，相当于一个连续递增区间的 \(k\) 级祖先都是 \(x\)，又由于性质二，于是所有递增 BFS 序的点的 \(k\) 级祖先的 BFS 序都是递增的，于是我们就可以直接二分了。