普及 SAM

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内部资料，包不外传。

定义

后缀自动机（SAM）的结构包含两部分，有向无环单词图（DAWG）和 parent 树。SAM 中的每个节点都同时存在于这两个结构中。

以下假设我们是关于字符串 \(s\) 的 SAM。

DAWG

DAWG 是一个 DAG。

我们令起始结点为 \(st\)，\(st\) 在 DAWG 中表示一个空串，而其他所有结点均 \(s\) 的一个或多个子串。

对于 DAWG 中的每条有向边都有一个字符 \(c\)，一个结点 \(x\) 所包含的子串为从 \(st\) 走到 \(x\) 路径上的字符依次拼接得到的结果，因为有多条路径，所以结点 \(x\) 可能包含很多子串。

为了描述方便，如果结点 \(x\) 包含 \(s\) 的一个后缀，那么我们称这个点为关键点。

结点

• 每一个结点代表的所有子串，一定是 \(s\) 某个前缀中若干长度只相差 \(1\) 的后缀。
• 结点 \(x\) 代表的所有子串中，最长子串长度记为 \(\max ( x )\)，最短子串长度记为 \(\min ( x )\)。
• 我们记 endpos 为一个子串在 \(s\) 中所有出现过的结尾位置集合，则一个结点所有子串的 endpos 相同。
• 任意两个结点的 endpos 不同，否则即可将其合并为一个结点。

有向边

\(u \to v\) 有连边则表示 \(u\) 的所有子串加上这条边所代表的字符 \(c\) 后能够变成的子串被 \(v\) 包含，但不一定其是 \(v\) 的所有子串（\(v\) 可能由多个点连边转移过来）。

后缀链接与 parent tree

注意：后缀链接并没有和 DAWG 中的有向边有直接联系。

• 记 \(u\) 的后缀链接所指的结点为 \(nxt_u\)，如果 \(nxt_u = v\)，当且仅当 \(\min(u) = \max (v) + 1\)，且 \(nxt_u\) 的子串是 \(u\) 的子串的后缀。
• 对于 \(u\) 和 \(nxt_u\) 来说，\(nxt_u\) 的 endpos 集合包含 \(u\) 的 endpos 集合。
• 后缀链接本质构成了一棵以 \(st\) 为根的内向树，我们称这棵树为 parent tree。

构造

大家可以通过构造感受 SAM 的有向边和后缀链接所表示的深层含义。

正常情况下，构造 SAM 的复杂度是 \(O(nV)\) 的，\(V\) 为字符集大小。

SAM 的构造是一个在线的增量算法，也就是说我们通过 \(s\) 的 SAM 得出 \(s + c\) 的 SAM。一般情况下我们选择直接记代码，当然你也可以通过下述例子感受 SAM 的构造过程与严谨逻辑。

首先，当 \(s\) 为 acbabc 时，我们的后缀自动机应该长这样（比较复杂，其实是为了让读者更清楚的理解 SAM 的结构，注意看清楚箭头方向）：

解释一下其中的东西：

• 虚线表示有向边，实边表示后缀链接，\(u \to nxt_u\) 有一条有向的实边（后缀链接）。
• \(v_1\) 为 \(st\) 结点，也就是起始结点，其中 \(v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7\) 代表子串之一是 \(s\) 的一个后缀，其中 \(v_7\) 为 \(s\) 串，然后从 \(v_6\) 到 \(v_2\) 长度递减，这些点也就是我们上面说过的关键点。
• 为了方便，我们将把 \(v_2, v_3, ..., v_9\) 这些结点所代表的字符串表示出来，如果你不记得表示哪些字符串了，可以看一眼。
• • \(v_2\)：