博弈论总结

博弈论定义

博弈论，是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

以上摘自 OI-Wiki。

具体来说，博弈论是一个二人不断进行决策的过程。

博弈论的分类

博弈论分为三类：

1. 公平组合游戏。
2. 非公平组合游戏。
3. 反常游戏（又被称为 Anti SG）。

这里只介绍公平组合游戏。

公平组合游戏

定义如下：

1. 游戏有两个人参与，两人分别作出决策，两人在游戏过程中均知道游戏的全部信息。
2. 两人能够做出的决策仅与当前局面有关，与其它因素无关（如游戏者，时间等）。
3. 游戏中的某个状态不可多次抵达，以玩家无法移动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。

博弈论的基本原理

对于一个人要进行操作的某个状态 \(x\)，我们定义它为必胜态，当且仅当 \(x\) 存在一个后继状态 \(p\) 为必败态，定义它为必败态，当且仅当 \(x\) 任意一个后继状态 \(p\) 为必胜态。特殊的，没有后继状态的 \(x\) 为必败态。

以上为做博弈论的基本原理，所有模型都是由这个定理推出。

Nim 游戏

题目大意：给定 \(n\) 堆石子，每堆石子有 \(a_i\) 个，双方可以从一堆非空石堆中选取任意正整数个，当谁无法操作时，谁就输了，问先手必胜还是后手必胜。

结论：如果 \(\bigoplus_{i = 1}^{n} a_i = 0\)，那么后手必胜，否则，先手必胜。

证明：

考虑终止状态的异或和肯定为 \(0\)，那么终止状态符合结论。

分 \(x\) 是必胜态和必败态讨论：

1. \(x\) 是必胜态，那么如果异或和不为 \(0\)，那么总可以找到一个 \(< a_i\) 的数，使得之后异或为 \(0\)。
2. \(x\) 是必败态，那么如果异或和为 \(0\)，那么总可以找到一个 \(< a_i\) 的数，使得之后异或不为 \(0\)。

根据终止状态，逆推即可。

翻棋子游戏

题目大意：给定一个棋盘，每个格子上有一个棋子。两人轮流操作，每次可以选择一个正面朝上的棋子 \((x, y)\)，然后选择一个格子 \((x, a)\) 或者 \((b, y)\)，其中 \(0 \le a \le y, 0 \le b \le x\)，将这个棋子与 \((x, y)\) 一起翻转，无法操作的人输，问先手必胜还是后手必胜。

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考虑纵坐标和横坐标是独立的，所以分开来看，发现去掉正面反面的限制，就是一个 \(2 \times n\) 的 Nim 游戏，我们发现一个棋子翻两次等于没翻，所以没有影响，还是做 \(2 \times n\) 的 Nim 游戏。

SG 函数

首先我们要了解 Mex 运算。

Mex 运算

设 \(S\) 为一个可重非负整数集合，那么：

\[\text{mex}(S) = \min_{x \in \mathbb{N}, x \notin S} x \]

即 \(S\) 中没有出现的最小的非负整数。

SG 函数的定义

在公平组合游戏中，我们定义状态 \(x\) 的 SG 为所有后继状态 SG 的 Mex，定义终止状态的 SG 为 \(0\)，对于有向图游戏中，一张有向图 \(G\) 的 SG 值为决策起点 \(s\) 的 SG 值。

有向图游戏的和

对于一个游戏 \(G\)，可以抽象为在 \(n\) 个图上进行决策，设这 \(n\) 个有向无环图为 \(G_1, G_2, ... G_n\)，那么规则为：

• 选择任意一个有向图 \(G_i\)，并且在它上面做一步决策。

当每个有向图游戏都无法进行决策时，此时必败。

SG 定理

参考有向图游戏的定义，那么 \(SG(G)\) 于子游戏的 SG 满足如下关系：

\[SG(G) = \bigoplus_{i = 1}^{n} SG(G_i) \]

如果 \(SG(G)\) 为 \(0\)，那么先手必败，否则，先手必胜，具体证明可以参考 Nim 游戏的证明。