CF980D Perfect Groups 数学 / 并查集

首先我们注意到这样一件事情：如果你已经有了一个正整数集合满足其两两之积为完全平方数，假设其中存在一个数 \(x\) 与不在这个集合内的数 \(y\) 的积为完全平方数，那么 \(y\) 与这个集合内所有数的积都是完全平方数，相当于 \(x \times y = z^2\) 这条性质具有传递性和可合并性。

来证明一下为什么，不难发现可以利用数学归纳法将集合大小缩减到 \(2\) 这个规模，相当于我要证明 \(x \times y = p^2, y \times z = q^2\)，那么 \(x \times z = k^2\)，我们将 \(x\) 与 \(z\) 分解质因数，发现由于 \(y\) 这个中间量，所以我的质因子的指数的奇偶性是一样的，相乘起来所有质因子的指数都是偶数，所以满足如上性质。

然后有了这个条件，这个题就好做了，我们对于每组 \(a_i, a_j\) 进行两两合并，然后一个区间内的答案就是不同集合数，然后数一下就做完了。