积木游戏

问题可以转化为：w列，每一列可以放任意高度的柱子。如果当前的柱子比前一列的柱子高度多d，就等于原问题的积木多了d个。

设dp0[i][j]表示从左往右考虑，第i列的高度为j的方案数，dp1[i][j]表示积木数，dp2[i][j]表示每种方案的平方和。

显然有转移\(dp0[i][j]=\sum_{k=1}^hdp0[i][k]\)，你也可以写成\(dp0[i][j]=h^i\)，不过这都不重要了。

然后有\(dp1[i][j]=\sum_{k=1}^hdp1[i][k]+\sum_{k=1}^jdp0[i][j]*(j-k)\)

以及\(dp2[i][j]=\sum_{k=1}^hdp2[i-1][k]+2*\sum_{k=1}^jdp1[i-1][k]*(j-k)+\sum_{k=1}^jdp0[i-1][k]*(j-k)^2\)

说说这个转移怎么来的。你考虑枚举所有\(i-1\)列的方案，就有\(dp1[i][j]=\sum_{方案}(方案的积木数+j-k)=\sum_{方案}方案的积木数+方案数*d=\sum dp1[i][k]+\sum dp0[i][k]*(j-k)\)

然后\(dp2[i][j]=\sum_{方案}(方案的积木数+j-k)^2=\sum_{方案}(方案的积木数^2+2*方案的积木数*(j-k)+(j-k)^2)=\sum dp2[i][k]+\sum dp1[i][k]*(j-k)+\sum dp0[i][k]*(j-k)^2\)。

最后前缀和优化一下即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define cn const
#define fp(i,a,b) for(rg int i=(a),ed=(b);i<=ed;++i)
#define fb(i,a,b) for(rg int i=(a),ed=(b);i>=ed;--i)
using namespace std;
typedef cn int cint;
typedef long long LL;
cint maxn=5010,mod=998244353;
int n,m,f[2][maxn][3],sum[2][maxn][3],sum2[2][maxn][2],sum3[2][maxn];
il void add(int &a,LL b){a+=b;while(a>=mod)a-=mod;}
il int slv(cint &n,cint &m){
    memset(f,0,sizeof f);
    fp(i,1,m)f[1][i][0]=1,f[1][i][1]=i,f[1][i][2]=i*i;
    fp(i,1,m){
        sum[1][i][0]=(sum[1][i-1][0]+f[1][i][0])%mod;
        sum[1][i][1]=(sum[1][i-1][1]+f[1][i][1])%mod;
        sum[1][i][2]=(sum[1][i-1][2]+f[1][i][2])%mod;
        sum2[1][i][0]=(sum2[1][i-1][0]+1ll*f[1][i][0]*i)%mod;
        sum2[1][i][1]=(sum2[1][i-1][1]+1ll*f[1][i][1]*i)%mod;
        sum3[1][i]=(sum3[1][i-1]+1ll*f[1][i][0]*i%mod*i)%mod;
    }
    rg int now=1,pre=0;
    fp(i,2,n){
        swap(now,pre);
        memset(f[now],0,sizeof f[now]);
        memset(sum[now],0,sizeof sum[now]);
        memset(sum2[now],0,sizeof sum2[now]);
        memset(sum3[now],0,sizeof sum3[now]);
        fp(j,1,m){
            f[now][j][0]=sum[pre][m][0];
            f[now][j][1]=(sum[pre][m][1]+1ll*sum[pre][j-1][0]*j-sum2[pre][j-1][0]+mod)%mod;
            f[now][j][2]=(sum[pre][m][2]+2ll*sum[pre][j-1][1]*j-2ll*sum2[pre][j-1][1]%mod+sum3[pre][j-1]+1ll*sum[pre][j-1][0]*j%mod*j-2ll*j*sum2[pre][j-1][0]%mod+mod+mod)%mod;
        }
        fp(j,1,m){
            sum[now][j][0]=(sum[now][j-1][0]+f[now][j][0])%mod;
            sum2[now][j][0]=(sum2[now][j-1][0]+1ll*f[now][j][0]*j)%mod;
            sum3[now][j]=(sum3[now][j-1]+1ll*f[now][j][0]*j%mod*j)%mod;
            sum[now][j][1]=(sum[now][j-1][1]+f[now][j][1])%mod;
            sum2[now][j][1]=(sum2[now][j-1][1]+1ll*f[now][j][1]*j)%mod;
            sum[now][j][2]=(sum[now][j-1][2]+f[now][j][2])%mod;
        }
    }
    return sum[now][m][2];
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    printf("%d\n",(slv(n,m)-slv(n,m-1)+mod)%mod);
    return 0;
}