BZOJ 2101: [Usaco2010 Dec]Treasure Chest 藏宝箱（这是我写过最骚气的dp！）

题目描述

贝西和邦妮找到了一个藏宝箱，里面都是金币！ 
但是身为两头牛，她们不能到商店里把金币换成好吃的东西，于是她们只能用这些金币来玩游戏了。  
 藏宝箱里一共有N枚金币，第i枚金币的价值是Ci。贝西和邦妮把金币排成一条直线，她们轮流取金币，看谁取到的钱最多。贝西先取，每次只能取一枚金币，而且只能选择取直线两头的金币，不能取走中间的金币。 
当所有金币取完之后，游戏就结束了。 贝西和邦妮都是非常聪明的，她们会采用最好的办法让自己取到的金币最多。 
请帮助贝西计算一下，她能拿到多少钱？ 

输入

第1行：单个整数N，表示硬币的数量，1<=N≤5000  
第2~N+1行：第i+1行有一个整数Ci，代表第i块硬币的价值，1≤Ci≤5000 

输出

输出一行：单个整数，表示如果双方都按最优策略玩游戏，先手可以拿到的最大价值。

样例输入 Copy

4
30
25
10
35

样例输出 Copy

60

空间限制：64MB，n<=5000，开5000*5000的二维数组需要94MB的内存！！
题解：
首先，应该是一个n方（时间复杂度）的dp，看到空间果断是要压掉一维的。
n方的方程式：

f[i,j]=sum[i,j]-min(f[i+1,j],f[i,j-1]).
//强行解释：
f[i][j]表示从i到j取得最大值。
sum为前缀和，sum[i][j]就是i到j的累加和

 

注意了！！！！（划重点，敲黑板）这个方程式我一开始没有理解（不是最大值吗，为什么是min？？？（黑人问号脸）），后来看了一段时间，才发现：
这个方程式的意思是：贝西只能取左端点或者右端点的硬币，拿完了左或者右，剩下的i+1~j或者i~j-1个金币就由邦妮取了，min就是在贝西拿完金币之后，邦妮的“最大值”。
转化的思想：先手最优相当于后手最劣。以为题目并没有要求后手也是最优，所以我们就把邦妮的智商手动变低，找最大值得相对最小值，这时候贝西拿的就是最优了。（真骚气）

解决了方程的问题，来着手解决空间的问题。首先，没有卡时间，卡了空间，这就很难受了，只能努力用滚动数组来滚掉一维。

但是，当前的状态并不允许我们滚动。

因为以前写过一题类似的题目（貌似是区间dp），借鉴一下区间的板子，改变一下状态的表示方法（不是改变状态）：

 

f[i,len]=sum[i,i+len]-min(f[i+1,len-1],f[i,len-1]).

f[i][len]表示从i开始，len长度（i+len=j）的最大值

不枚举j，而是枚举i（起点）和区间长度，但是时间复杂度却没有变。

这时候就能看出，第二维根本没有用（前后一样的）

于是就可以开心快落地滚掉一维了

代码短小精悍：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5005;
int n;
int sum[maxn];
int dp[maxn];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&dp[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+dp[i];
    }
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int i=1;i+len<=n;i++)
        {
            dp[i]=sum[i+len]-sum[i-1]-min(dp[i],dp[i+1]);
            
        }
    }
    printf("%d",dp[1]);
    return 0;
}

 

慢着！你以为到这就结束了？

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（完）