Robotlics-四元数-解决欧拉角的多解和奇异性问题

已知旋转矩阵 $RR，可以反求三个欧拉角。以常见的 ZYX 旋转为例：$

在非奇异情况下，根据齐次变换矩阵，可以计算：

但这种表示存在两个问题。

1. 欧拉角可能存在多组解

角度具有周期性：

θ≡θ+2kπ

而且同一个旋转矩阵通常可以对应不同的欧拉角组合。

例如，一组解为：

$(α,β,γ)$

另外一组可能是：

它们描述的最终姿态相同。

因此：

一个空间姿态，不一定只对应一组欧拉角。

2. 欧拉角存在奇异性

对于 ZYX 欧拉角，当：

就会出现万向节锁。

例如，当：

旋转矩阵只能确定：

却不能分别确定 $α和 γ$

此时可能有：

也可能有：

只要：

得到的姿态就是一样的。

这不是计算公式写错了，而是欧拉角本身在这个姿态下失去了一个独立方向。

3. 问题的根源是什么？

欧拉角通过三次连续旋转描述姿态：

前一次旋转会影响后面的旋转轴。

当两个旋转轴恰好重合时，就会失去一个自由度，产生万向节锁。

更深层的原因是：

无法只用一套全局连续、处处无奇异的三个角度，表示所有三维旋转。

因此，如果机器人内部一直使用欧拉角进行姿态计算，可能遇到：

角度突然跳变；

同一姿态出现多组角度；

接近奇异点时数值极其敏感；

插值轨迹不自然；

姿态微分和角速度计算复杂。

这就引出了四元数。

四元数的基本思想

欧拉角使用“三次绕轴旋转”描述姿态。

四元数换了一种思路：

任何三维旋转，都可以看成绕某一根单位轴 $w，一次旋转角度 θ。$

设旋转轴为：

4. 为什么是四个数？

空间旋转实际上只有三个自由度，而四元数使用四个数：

这是因为它还需要满足单位约束：

因此：

5. 四元数为什么没有万向节锁？

四元数不是依次绕 X、Y、Z 三根轴旋转，而是直接描述：

所以不存在“第二次旋转后，两根轴重合”的问题。

因此，四元数可以连续覆盖所有三维姿态，不会在 Pitch 等于 $±90∘\pm90^\circ 时发生万向节锁。$

6. 四元数是否完全唯一？

四元数仍然不是一一对应。

q 和 −q 表示同一个旋转。

这是四元数的“双覆盖”性质，但它不会造成万向节锁。

在连续运动中，为了防止四元数符号突然翻转，通常检查相邻四元数的点积：

8. 四元数转换回欧拉角还会奇异吗？

会。

四元数本身没有万向节锁，但如果把它转换成 ZYX 欧拉角：