升余弦滤波器原理

在与舍友的深夜畅谈中，对于项目中升余弦滤波器的使用技巧收获颇丰，分享如下（感谢舍友）：

聊天背景：

我的工作：我做的是基带通信同步部分的硬件实现，作为收端的第一环，同步一开始便是添加一个根升余弦滤波器，

“好事成双”，发端的最后一环也会添加一个一模一样的根升余弦滤波器（发端为了调满幅，系数和收端的会稍有不同，但呈倍数关系）。

舍友的工作：舍友做的是收端的信道估计与均衡的原理分析，但不同于一般的信道估计，导师对他的要求是将收发两端的滤波器也考虑在内。

那么信道的频响函数就成了H = H_filter_sender * H_channel * H_filter_receiver。这也是他工作的难处所在。

我的疑惑：

两人的工作的共同点便是都使用到了根升余弦滤波器，那么这两个滤波器到底是用来做什么的呢？以往在做工程实现时并没有考虑太多，

而实验室师兄让我注意到了在发端有一个和咱收端相同的滤波器，两个根升余弦滤波器一乘，根没了，只剩下一个升余弦滤波器。

且对OFDM的同步来说，此滤波器可通过对单载波调制的同步头上采样而获得和用OFDM调制的数据部分相同的采样速率。细究下来，如此设计的

原因一定不止是调节采样速率这么简单，况且在自然界“对称”也被公认为一种美的结构，那这两对共生的滤波器身上有哪些简洁的工程美呢？

舍友答疑：

如此设计一石三鸟，大呼妙哉！

1，发端的根升余弦滤波器主要起到脉冲成形的作用：在对原始01数据进行编码调制后数据仍是为数不多的几个离散状态，BPSK为1和-1两种状态，

QPSK也是1和-1两种状态（只是比BPSK多了两个映射象限），16QAM则为±1，±2，±3这6状态。这些存在于时域的波形在时域上反应出来就是一个

又一个方波，大佬傅里叶告诉我们，方波的组成是由近乎无限高的高频分量组成的，而这在通信系统中是物理不可实现的。

升余弦滚降滤波器以具有余弦函数性质的频域响应代替了方形频响，将高频的方波“滚降”到物理可实现的余弦波形，即起到了一个低通滤波器的作用。

（这里多说一点：数学公式可以漫天遨游地任意推导，而物理规律的发展显然是跟不上数学的步伐呀，就像空间几何在三维的基础上很容易就推导出了四维空间，给向量多加一维嘛，可要物理上证明就很艰难了！又如在Matlab中对数据进行的各种运算，可以通过函数轻松实现，在FPGA上实现时考虑到并行时序以及硬件的限制就没那么容易了。）

2，收端根升余弦滤波器的作用：此处充当了一个匹配滤波器的作用，即在输入信噪比一定的条件下提高了输出信噪比。

3，两个滤波器“形成合力”后的作用：收发两端采用一对相同的根升余弦滤波器，在频域上一乘“根”就没了，成了一个升余弦滚降滤波器。

参考樊昌信《通信原理（第七版）》P145-150页关于无码间串扰的基带传输特性可知，升余弦滤波器可起到消除ISI的作用。

如此一来，一个看似简单的成对称结构的滤波器设计，同时实现了脉冲成形，匹配滤波，消除ISI这三大通信技术，可谓一石三鸟。

补充说明：

在配置滤波器的IP核时，滤波器系数的值即其时域响应，输出数据长度为原始长度加该系数长度减1，最后仅保留输出数据的中间部分，即在两边各截取1/2（滤波器系数长度-1）

此外，滤波器在数学运算上也可看作是在对原始数据进行延时相加（每延时一次乘的系数会减小），即数字卷积的过程：

为了便于分析，可把滤波器和数据的身份对调（即滤波器卷积数据--卷积运算的可交换性），若数据为1，即可看作是一个脉冲函数。

任何函数与脉冲函数的卷积都为其本身，四倍上采则保留四个滤波后的输出数据，数据呈现这样的关系：1232或2321，即中间值最大，两边逐级衰减(与滚降系数有关)

舍友还提到了上采样（内插）和下采样（抽取）结合使用滤波器也起到了降低ISI的作用，其中上采样会使得信号频带降低。

上文的说理过程不一定精确，后续研究了相关知识后再做修改和补充。另外关于上采样的使用也是后面需要重点研究的。

好了，本文就暂时写到这，欢迎大佬批评指正。