SciTech-Mathematics-Measure测度论 + Proba.&Stats-Wavelet Analysis小波分析(变换与重建) + Haar基的ScalingFunction(直流DC基量)与WaveletFunction(变频的方波信号生成器)

SciTech-Mathematics-Measure测度论 + Proba.&Stats-Wavelet Analysis小波分析

Wavelet Analysis小波分析

任意数字信号都可以 Wavelet 分解与重建

通过以下Wavelet Transform与Reconstruction 的原理，
可以确定: 任意的 "数字信号采样"，
都可以用 "可编程DC直流电源" + "可编程方波信号发生器" 进行合成。

• Scaling Function 用于重建"近似空间"；
• Wavelet Function 用于重建 "细节空间"。

DAC 与 Wavelet Transform与Reconstruction 的原理

这是不是"DAC(Digital to Analog Converter, 数字模拟转换器)" 的原理？
只要能由"数字信号采样"，"先合成"阶跃函数式数字信号，"后滤波"将"阶跃"平滑化，
就能由"数字信号"合成出"任意波形的模拟信号"。

Wavelet 分解与重建 的作用

1. A₀是源信号的"平均值"，是整个信号最总体的近似。
2. D₀, D₁, ···, Dₓ 是"细节空间"，而且是"可线性叠加"的；
3. 通过对 D₀, D₁, ···, Dₓ 的分析，
   可以基于 "阶跃幅度" 进行"Digital Signal Processing"或者"Data Statistical Analysis".
   这意义就非常重大。
   例如"基于检测跳变幅度"进行信号和事件处理。
   而且，通过 "变周期性地统计"信号在每周期的过零(均值)次数"，
   就可以将"频率变化"数值化成"变频数字信号"，用Wavelet进行分解与合成。

Haar 基

• Scaling Function: 全是"1"，即DC(直流分量)。
• Wavelet Function: 一半是"1"，另一半是"-1"，即单位1高度的"标准方波"。

精简介绍 Wavelet Transform+Recovery(小波变换及还原)

Haar-Base(哈尔基) Wavelet Transform+Recovery

示例: 源信号16个点 用"两两分组"小波变换	源信号⇒"近似信号+细节信号" 第1次 "Haar基变换"

Pattern	深度k的完全变换

阶跃函数 表示 Digital Signal Samples	WaveletT.(小波变换)核心目的:近似并压缩 总共k次Haar基变换

信号重建

• Scaling Function 用于重建"近似空间"；
• Wavelet Function 用于重建 "细节空间"。

之所以全程用"阶跃函数"表示，
是因为在 "台阶(直流基量)" 上进行 "堆叠 Dₓ × WaveletFₓ",
等同于 将 "堆叠 Dₓ × WaveletFₓ" 的图形 垂直移动(特别直观)。

1. 绘制基底: A0 × ScalingFunction
   ⇒ S₀=[4,4, 4,4, 4,4, 4,4]
2. 还原细节D₀: 堆叠 D₀[0] × WaveletF₀
   WaveletF₀ = [1,1, 1,1, -1,-1, -1,-1]
   S₀ + D₀[0] × WaveletF₀
   = S₀ + 3 × [1,1, 1,1, -1,-1, -1,-1]
   = S₀ + [3,3, 3,3, -3,-3, -3,-3]
   = [4,4, 4,4, 4,4, 4,4] + [3,3, 3,3, -3,-3, -3,-3]
   ⇒ S₁=[7,7, 7,7, 1,1, 1,1]
3. 还原细节D₁: 堆叠 D₁[0,1] × WaveletF₁
   WaveletF₁ = [1,1, -1,-1]
   S₁ + D₁[0,1] × WaveletF₁
   = S₁ + {D₁[0] × WaveletF₁, D₁[1] × WaveletF₁}
   = S₁ + {-1 × WaveletF₁, 2× WaveletF₁}
   = S₁ + {-1×[1,1, -1,-1], 2× [1,1, -1,-1]}
   = S₁ + {[-1,-1, 1,1], [2,2, -2,-2]}
   = S₁ + [-1,-1, 1,1, 2,2, -2,-2]
   = [7,7, 7,7, 1,1, 1,1] + [-1,-1, 1,1, 2,2, -2,-2]
   ⇒ S₂ = [6,6, 8,8, 3,3, -1,-1]
4. 还原细节D₂: 堆叠 D₂[0,1,2,3] × WaveletF₂
   WaveletF₂=[1, -1]
   S₂ + D₂[0,1,2,3] × WaveletF₂
   = S₂ + {D₂[0] ×WaveletF₂, D₂[1] ×WaveletF₂, D₂[2] ×WaveletF₂, D₂[3] ×WaveletF₂}
   = S₂ + {-1 ×WaveletF₂, 0 ×WaveletF₂, 1 ×WaveletF₂, 0.5 ×WaveletF₂}
   = S₂ + {-1 ×[1, -1], 0 ×[1, -1], 1 ×[1, -1], 0.5 ×[1, -1]}
   = S₂ + {[-1, 1], [0, 0], [1, -1], [0.5, -0.5]}
   = S₂ + [-1,1, 0,0, 1,-1, 0.5,-0.5]
   = [6,6, 8,8, 3,3, -1,-1] + [-1,1, 0,0, 1,-1, 0.5,-0.5]
   ⇒ S₃ = [5, 7, 8, 8, 4, 2,-0.5,-1.5]
5. 最终重建(数字信号): S = [5, 7, 8, 8, 4, 2,-0.5,-1.5]

Wavelet小波重建源数字信号 两个"标志性特征"函数 ScalingF. 与 WaveletF.	Wavelet小波重建 以 ScalingF. × A₀ 为基准信号, 层层堆叠 WaveletF. × "细节空间维值"

完全重建 "源数字信号"

• Scaling Function 用于重建"近似空间"；
• Wavelet Function 用于重建 "细节空间"。