SciTech-Mathematics-Analysis+Probability: 分析+概率: 概率论的公理化结构{非负+ 可列可加+ 正则} + Conditional Probability(条件概率) + Independent Events(相互独立事件)

常用数学性质: 正定 + 正则 + 可列可加

• 非负 ⇔ ∀ X∈ R, X >= 0
• 正定 ⇔ ∀ X∈ R, X > 0
• 正则 ⇔ ∀ Ω(完备事件组Exclusive+Exhausted Events), P(Ω) = 1
• 列加 ⇔ ∀ Exclusive Events(互不相容事件组) A₁, A₂, ..., Aₓ , ..., 有 P(UAₙ) = ∑P(Aₙ).

Independence(独立性) 与 Conditional Probability(条件概率):

• Independence指 P(X|Y) = P(X), 即 Y不影响 X(本质是 X与Y 所在的 两个试验 Eₓ 与 Eᵧ 相互不影响),
• Conditional Probability指 P(X|Y) ≥ 0, 常是 Y 与 X 在同一个Experiment, Y(或Y补集)对X有影响.
  只要 X与Y 在同一个Experiment ⇔ X与Y是同一个Ω 的子集,
  那么 Y 必然受 X 或 "X的补集" 的影响, 也就是 P(Y|X) 或 P(Y|(Ω-X)) 必有一个非负(前提是X与Y都非负)。

1. Experiment 的 Design&Analysis,
   两个不同的Experiment(试验) 会有两组基本事件组(或Sample Space样本空间),
   这两组基本事件组(Sample Space)可能有交集, 也可能没有交集。
   如果这两组基本事件组(Sample Space)不相交, 那么这两个Experiments相互独立。
   严格意义上，两个Experiment相互独立,
   不仅要求 "其基本事件组不相交"，而且要求 "其Parameters(系统参数也相互独立)"。

2. Independence是两个事件Events, 分别在两个不同并相互独立的Experiments)
   本质上是 "两个Experiments的Independence(基本事件组相互独立) 决定 两个Events 的Independence"。
   注意, Independence(独立性)的Context(上下文), 是对多个 Experiment(试验)讨论的,
   即两个事件 X 与 Y 分在两个试验 Eₓ 与 Eᵧ(,Eₓ 与 Eᵧ, 可能"相互独立", 也可能"不是").
   如果, 这两个事件 X 与 Y"Mutual Independent(相互独立)",
   那么, 也代表两个试验 Eₓ 与 Eᵧ "Mutual Independent(相互独立)". 即: P(X|Y) = P(X), P(Y|X) =P(Y),
   也就是, P(X) 不受 Y事件的影响, P(Y) 也不受 X事件的影响。

3. Conditional Probability(条件概率) 是两个Events, 但是在同一个 Experiment(试验)。
   Conditional Probability有隐含前提，前提是两事件所在Experiment 是同一个, 或不独立的两个 。
   注意, Conditional Probability(条件概率) 的Context(上下文), 是对一个或个 Experiment(试验)讨论的,
   如果Context(上下文)是多个 Experiment(试验)，那么 这多个Experiments 不是 Independent的。
   只有分在非Independent的多个试验的, 多个事件Events(事件), 才可以讨论 Conditional Probability.
   而分在Independent的多个试验的, 多个事件Events(事件),
   是Independent的, 即 "相互不影响, 没关系",不存在条件概率 的前提。

概率论的公理化结构 : 非负 + 正则 + 可列可加

Definition 1.3 事件概率

设Experiment(试验) E 的样本空间为 Ω,
对于Experiment(试验) E 的每一个 Event(事件) A,
即对于 样本空间Ω 的每一个 Subset(子集) A,
都赋予一个实数P(A), 如果P(A)满足下面三条公理, 称P(A)为事件A的概率.

• 公理1(非负性): ∀ Event A, ∃ P(A) ≥ 0
• 公理2(列加性): ∀ Events Exclusive Events(互不相容事件组) A₁, A₂, ..., Aₓ , ..., 有 P(U Aₙ) = ∑P(Aₙ)
• 公理3(正则性): ∀ Certain Event Ω, ∃ P(Ω) = 1

概率公理化定义的"非负性" 与 "列加性" ，是诸如 Length(长度)、Area(面积)、Volume(体积) 、Mass(质量)及MassDensity(质量密度)、Weight(重量)等 Measure(度量) 的共同特点，也是概率的重要特性。

概率的三条公理是我们研究概率的基础和出发点。