SciTech-Math-Space&Coordination: 空间、视角(场景)及其坐标、变换(空间和坐标): Euclidean Space And Non-Euclidean Space + Inner Product Space + Fourier Series + Hilbert Space

SciTech-Math-Space&Coordination: 空间、视角(场景)及其坐标: Euclidean Space(欧式空间) And Non-Euclidean Space(非欧空间)

Space (空间) 的 总结

欧几里得空间(来源: 数学天地)

\(欧几里得 n-空间\)，有时称为 \(笛卡尔空间\) 或简称 \(n-空间\)，是所有 n元组 实数，(x_1, x_2, ..., x_n) 的空间。
这样的 \(n-元组\) 有时称为点，尽管可以使用其他术语（见下文）。
\(n-空间\) 的全体通常表示为$ R^n$，尽管较旧的文献使用符号 \(E^n\)（或者实际上，是非双线体变体 \(E^n\)；O'Neill 1966，第 3 页）。

$R^n $ 是向量空间，具有 \(Lebesgue 覆盖维数 n\)。 因此，\(R^n\) 的元素有时称为 $ n-向量$。

• \(R^1=R\) 是实数的集合（即实数线），
• \(R^2\) 称为欧几里得平面。 在欧几里得空间中，协变和逆变量是等价的，因此 \(e^->^j=e^->_j\)。

不同空间 的 "距离" 定义和转换

对比坐标系: 世界 VS 局部	不同坐标系 的 线元计算 与 转换

世界(平直) 坐标系
局部(曲面) 坐标系

Euclidean Space(欧式空间) And Non-Euclidean Space(非欧空间)

世界坐标系(Euclidean Space):

Euclidean Space(欧式空间)的本质性，是其平面性.
一句话总结：Euclidean Space就是在对现实空间的规则抽象和推广(从n<=3 推广到 有限n维空间）。

• 欧几里得几何 就是中学学的 平面几何、立体几何，
  中学学的几何空间, 一般是低维空间, 如 2维，3维. 所以，我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低维空间总结的.
• 欧几里得几何中，平行线任何位置的间距相等。
• 如果, 将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间，
  那么, 这些符合定义的空间, 则统称为 欧式空间(Euclidean Space, 欧几里得空间）。
• Euclidean Space主要是定义: 内积、距离、角(没错，就是初中的那些定义]，
  理解了这些再去理解数学定义就很明确。

• 空间坐标系及其坐标的相互转换:
  https://www.cnblogs.com/abaelhe/p/17917804.html

Euclidean Space（欧几里得空间）

欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，
在欧几里得几何，两平行线任何位置的间距相等。

• 中学学的几何空间一般是2维，3维; 所以，我们讨论 余弦值、点间的距离、内积 都是在低维空间总结的.
• Euclidean Space :将这些低维空间所总结的规律, 推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间, 则统称为欧式空间。
• Euclidean Space 主要定义了 内积、距离、角。

傅里叶级数

在说明Hilbert Space之前，我们先了解什么是Fourier Series。

1. 举例: 构造三个简单的旋转，叠加成一个复杂函数：
   对于一个绕着中心点转圈的点（半径为3，转速1秒1圈），

   • 我们给它加上一个正交的时间维度，就会得到右图的圆柱螺旋线。
     
     在这个空间，我们从不同角度观察会得到不同的曲线。
     
   • 在以上的基础上，我们假设:
     A点绕着中心 旋转(半径为3，转速1秒1圈),
     B点绕着A点 旋转(半径为2，转速1秒2圈），
     C绕着B点 旋转(半径为1，转速1秒4圈）。
     最终得到的平面观察图如下。 同时再加上时间维度。
     
     从三个不同的方向观察得到的结果如下:
     

2. Fourier Series就是无穷多项的叠加。其公式如下(欧拉公式及其证明，文后有链接)：
   
   这个公式的几何表示，是用无限个圆盘一个接一个套在一起，每个都周期旋转；总体终点的轨迹，就可以表示任何函数图案，如下图：
   

Hilbert Space(希尔伯特空间)

Hilbert Space是Euclidean Space的直接推广，内积空间的完备化就是Hilbert Space。

• Linear Space(线性空间)
  Linear Space(线性空间), 就是在数域F上的Vector Space，定义加法和数乘两种运算，
  向量空间的任何一个元素可以由其他元素线性表出，这就是线性空间。

• Inner Product Space(内积空间)
  在Linear Space(线性空间)的基础上, 定义了Inner Product(内积, 即点乘、标积)。
  内积可以理解为: 输入两个向量输出一个数的运算。
  内积运算，在输入两个"向量型变量"时: 输出就成了一个函数(因变量，数域F上的一个变化的数)。

• Hilbert Space(希尔伯特空间)
  在常见的Vector Space(向量空间)坐标系上(y=0做x轴, x=0做y轴)进行改变，

  • 改成 sin(x) 做x轴，sin(2x) 做y轴。如下图：
    
  • 在此基础上继续增加一个sin(3x)作为z轴，最后得到的三维空间如下图：
    
  • 看起来很乱，先别担心，我们以\([1,1,1]\)为例，则它表达的向量是：
    
  • 这和Fourier Series有点熟悉。当我们把它升到无穷维就会得到Fourier Series的正弦形式：
    
  • 这代表几乎所有连续函数都可以这样分析，因为Fourier Series可以合成分解几乎所有其它函数。
    以上 Inner Product Expression, 右边是一个f(x)函数，左边是一个 无限维空间的 向量
    Hilbert提出, 把任意连续函数直接看成矢量，于是就可以把它拉成 平直坐标系。
    并且，这的所有的连续函数，就构成了一个完备的Euclidean Space。
    任何一个函数，都可以对应成一个非常有规律的无限维空间的 一个向量。
    

Hilbert Space就是完备化的Inner Product Space(内积空间)，即其中任意柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。
换一种表达，对于一个完备的内积空间，任何收敛序列都有极限存在于该空间。

这个性质在数学上非常重要，因为它保证了空间的序列不会收敛到“空间之外”，
进一步，使得我们可以更好地研究空间的性质和结构。

总结

• 欧式空间的应用场景很好理解，因为我们生活的就是一个三维的欧式空间，
  我们常规理解的距离，长度，夹角的概念就是欧式空间的距离，范数，內积的定义。
• 希尔伯特空间的应用场景：
  Hilbert Space的元素一般是函数，因为一个函数可以视为一个无穷维的向量。
  如果大家熟悉 Fourier Transform或者Taylor Equation，便能自然推导空间的基底。
  没错，也是非常有规律的一组无限多的函数。