SciTech-Mathmatics-Probability+Statistics-II-Population:Parameter Estimation + Samples:Statistics 总体的参数估计 和 样本统计量

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Parameter Estimation of Population + Statistics of Samples

统计量(样本) 与 参数估计(总体)

欢迎回到我们的统计学系列教程。
上一篇文章《统计学入门（一）：样本与总体》，我们探讨了统计学的基础概念,
includes \(\large Population\) and $\large Sample $, and its importance for \(\large Statistical\ Research\).
我们了解到:

• 样本是从更大的 总体 选取的一部分，
• 研究 样本 能够推断 总体的特征。

这次，我们将深入到统计学的下一个关键环节：
\(\large Statistics\ of\ Samples\) and \(\large Parameter\ Estimation\)。

统计学的挑战常是如何用\(\large Finite\ Samples\), \(\large \bm{ Effectively\ Estimating }\) \(\large\ Parameters\ of\ Population\)。

Therefore, it will use \(\large Statistics\ of\ Samples\) and \(\large Parameter\ Estimation\)。

• \(\large Statistics\ of\ Samples\):
  由 Samples(样本数据) 计算得出的 Statistics(统计值), 它们是我们了解 Population(总体)的关键。
• \(\large Parameter\ Estimation\)(参数估计): basing Statistics for Estimating \(\large Parameters\ of\ Population\), such as Mean, Variance of Population.

本文将引导您理解这些概念, 并展示它们在实际数据分析的应用。
我们将通过直观的例子和简单的解释，使这些看似复杂的概念变得容易理解。

同时，我们也会简要探讨不同的参数估计方法,
如MLE(最大似然估计) 和 MoM(矩估计法)，及其各自的优势和适用场景。

通过本文学习, 您将能够更深入地理解如何利用统计方法来揭示数据背后的故事，
并为接下来的主题 "Hypothesis Testing(假设检验)" 打下坚实的基础。
让我们一起继续探索统计学的精彩世界。

Statistics(统计量)的 Concept

Statistics 是一个关键概念, 它在统计数据分析扮演着重要的角色。
Statistics 是用 Samples(样本数据) 计算出的 Number Values(数值)，
它用于对Population(总体)的某些 Parameter or Character(特征)进行 Estimation(估计)或 Desctiption(描述)。
those \(\large Number\ Values\) can be any form of \(\large Measurement(度量)\), 如 Mean, Median, Mode, Variance, Proportion, and so on.

Why Statistics is so important ？

首先，Statistics 允许我们用 Samples 提取 Information, for Estimating \(\large Parameters\ of\ Population\).
例如，通过计算 \(\large Mean\ of\ Samples\)，we can Estimating \(\large Mean\ of\ Population\).
这一点特别重要, 因为许多情况, 获取 整个总体的数据 是 不现实或不可能的。

General Statistics(统计量)常见统计量

\(\large Sample\ Mean(样本均值)\)：样本数据的平均值，通常用于估计总体均值。
\(\large Sample\ Variance(样本方差)\)：度量样本数据的变异性或分散程度，用于估计总体的方差。
\(\large Sample\ Standard Deviation(样本标准差)\)：样本方差的平方根，提供了数据分布的另一种视角。
\(\large Sample\ Proportion(样本比例)\)：在特定条件下样本中的观察值占样本总数的比例。

理解\(\large Statistics(统计量)\) 的两个关键性质是非常重要的：

• Unbiasedness: ideal \(\large Statistics(统计量)\) must be Unbiasedness, 即其 期望值 等于 要估计的 总体参数.
• Consistency: 随着样本量的增加，统计量 应越来越接近 总体的真实参数。

\(\large Parameter\ Estimation\)的基础

\(\large Parameter\ Estimation\) 是用\(\large Samples\) 估计 \(\large Parameters\ of\ Population\) 的一种方法。
\(\large Parameters\) are \(\large Number\ Values\) for describing \(\large Character of Population\) ,
for example, \(\large Population\ Mean\) 或 Population Variance.
those \(\large Parameters(参数)\) usually are \(\large Unkown\), 因此要用 \(\large Samples\) 计算 \(\large Statistics\) 来 估计它们。

\(\large Parameter\ Estimation\) 的 核心 在理解 \(\large Parameters\) 和 \(\large Statistics\) 之间的 \(\large Relationship\)。

• \(\large Parameters\) are \(\large Measurements\) of \(\large Population\);
• \(\large Statistics\) are cooresponding \(\large Measurements\) of \(\large Samples\)。

例如, \(\large Population\ Mean\)(a Parameter) 可用 \(\large Sample\ Mean\)(one Statistic)估计.

估计的准确性 取决于 样本的代表性 以及使用的估计方法。

\(\large \bm{\text{ Main Objective of }} Parameter\ Estimation \text{ is to provide } Best\ Estimation \text{ of }Parameters\ of\ Population\). this pertains to two aspects：

• \(\large Point Estimation(点估计)\)：
  提供 \(\large Single\ Value(单一数值)\) 作为 总体参数 的估计。例如，使用 样本均值 来 估计总体均值。
• \(\large Interval Estimation(区间估计)\)：
  提供一个 \(\large Value\ Interval\), this \(\large Value\ Interval\) contains \(\large Parameters\ of\ Population\) to certain probability.
  例如, CI(Confidence Interval) 是\(\large Population\ Mean\) 的一个 \(\large Interval Estimation\).

通过\(\large Parameter\ Estimation\) 用 \(\large Finite Samples\) 得到 \(\large Population\)的 重要信息.
实际应用极为重要, 因为在多数情况下，我们无法获取或观测到 整个总体。
因此 \(\large Parameter\ Estimation\) 是 \(\large Statistical\ Inference\) 的一个基本环节, 使我们能夠对\(\large Character of Population\)做出科学的判断和决策。

\(\large Parameter\ Estimation\)的方法

统计学，有多种方法可用于\(\large Parameter\ Estimation\).
这些方法各有其特点和适用场景。 本部分将重点介绍两种常用的参数估计方法：
MLE(Maximum Likelihood Estimation)和 MoM(Method of Moments)。

MLE(Maximum Likelihood Estimation,)

最大似然估计是一种基于概率的估计方法，
它通过最大化“似然函数”来寻找参数的最佳估计值。
似然函数衡量的是，在给定参数的情况下，观察到当前样本的概率。

原理：选择使得观察到的样本数据出现概率最大的参数值作为估计值。
应用实例：假设我们有一组数据，我们认为这组数据遵循正态分布。
我们可以使用MLE来估计这个正态分布的均值和方差。

MoM(Method of Moments)

MoM(Method of Moments) 是另一种参数估计方法, 它基于 样本矩(如样本均值, 样本方差等) 来估计总体参数。
原理：利用 样本矩(如样本均值) 来估计对应的 总体矩(如总体均值)。
矩估计法 的 基本思想 是 样本的统计特性 应该反映 总体的相应特性。
应用实例：
如果我们知道 总体分布 的 某些矩 的形式(例如, 第一矩等于总体均值)，
我们可以通过相等的样本矩 来 估计 这些参数。

比较MLE和MoM

• Accuracy(准确性): 许多情况, MLE提供较高的准确性, 特别是在样本大小较大时。
• Complexity(计算复杂度)：MLE往往需要更复杂的计算，因为涉及到似然函数的最大化。
  对比, MoM的计算更简单, 但有时可能不如MLE准确。
• Domain of Application(应用范围)：MLE对于模型假设较为敏感, 而MoM在 模型假设 不完全准确 时 仍然可用。

参数估计的实际应用

参数估计不仅在理论上重要, 它在实际应用也扮演着关键角色。
无论是在科学研究、商业决策还是公共政策制定，有效的参数估计都是不可或缺的。
以下是一些参数估计在实际研究和应用的例子。

• 在市场研究，企业可能需要估计某一目标市场的平均消费能力。
  通过对一小部分目标市场的消费者进行调查，企业可以使用样本均值来估计整个市场的平均消费能力。
  这种估计对于产品定价、市场定位等方面的决策至关重要。
• 在公共卫生领域，研究人员可能需要估计某种疾病的感染率。
  通过对特定人群的抽样调查，可以使用样本比例来估计总体感染率。
  这些信息对于制定有效的公共卫生政策和资源分配策略极为重要。
• 环境科学家可能需要估计某个区域的空气质量指数。
  通过在不同地点收集的样本数据, 可以使用参数估计方法来评估整个区域的空气质量。
  这对于评估环境健康风险和制定环境保护政策至关重要。
• 在金融分析，分析师可能需要估计股票或其他金融产品的预期收益率和风险。
  通过对过去数据的分析, 可以使用参数估计方法来预测未来的市场趋势, 这对投资决策至关重要。

虽然参数估计在多个领域都有广泛应用，但它也面临着一些挑战。
例如，样本的选择偏差、数据的不完整性和模型的选择都可能影响估计的准确性。
因此，在实际应用，选择合适的参数估计方法 并考虑可能的误差源 是非常重要的。

结语
本文《统计学入门（二）：统计量与参数估计》，
我们探讨了统计量和参数估计的基本概念、重要性以及在实际应用的作用。
我们了解到，统计量作为从样本数据中提取的关键数值，
是连接样本与总体、实现有效统计推断的桥梁。
而参数估计则是利用这些统计量来估计总体参数的过程，
它在数据分析、科学研究和决策制定中发挥着至关重要的作用。

通过介绍最大似然估计（MLE）和矩估计法（MoM）这两种常用的参数估计方法，
我们展示了如何从理论到实践应用这些方法来解决实际问题。
从市场研究到公共卫生政策，再到环境科学和金融分析，参数估计的应用广泛而深远。

然而，需要注意的是，尽管参数估计是强大，
但它的有效性依赖于样本的代表性、数据质量以及正确的方法选择。
实际应用，理解和处理这些潜在的挑战是至关重要的。

本文，我们没有涉及偏差与误差（Bias and Error）以及抽样分布（Sampling Distribution）等概念。
这些也是统计学重要的概念，对于理解统计推断的整体框架非常关键。
我们将对这些概念进行探讨，以帮助您更全面地理解统计学的深层原理和应用。

随着我们对统计学基础概念的深入理解，我们已经准备好迈向下一步：探索假设检验（Hypothesis Testing）。
在我们的下一篇文章，我们将详细介绍假设检验的原理和方法，如t检验和F检验等，
它们在统计学研究和数据分析的应用非常广泛。敬请期待《统计学入门（三）：假设检验》。

通过这个系列的学习，我们希望能够帮助您更好地理解统计学的基本原理，
并将这些原理应用于您的研究和工作。