SciTech-Mathmatics-ComplexSpace-Encode/Decode- (Discrete)Multi-Dimensional FourierTransform: arbitrary $R^n$ functions + SpectralAnalysis + ImageSynthesis__FourierSeries: PeriodicalFunctions

多维复空间上的离散傅立叶变换\(MD-DFT\)(Multi-Dimensional Discrete Fourier Transform) :

多维\(C^k\)(k维复数空间)上的\(MD-DFT\)可以合成任意的 \(R^n\)几何体/或时间序列信号;

如果在每一维自由度上加上时间\(t\)作为\(因变量\), 可合成任意的 \(R^n\)信号；可以调制解调出 或者 Decode/Encode 需要的时间序列信号。

注释:

• \(C^k\)复数空间(k维复数空间)：
  • 每一列向量，有k维度的变量；
  • 每一维度变量，是一个复数类型因变量\(z\)；
  • 每一个复数类型因变量\(z\)，都是时间\(t\)(\(R\)实数类型自变量)的函数，表达式为\(z=\rho e^{i\omega t}\)
  • 每一个复函数\(\omega = f(z)\), 是将复数\(z\)视为一个复合的整体自变量(由两个以上独立分变量复合而成)；
    而每个复数\(z\)必须要有的两个独立分变量是其实部和虚部 或 模长与幅角；
    对时间序列分析，则可在其 三角形式 或 指数形式 的幅角分变量 嵌入(乘上)时间\(t\)；即\(z=\rho e^{i \omega t}\), \(z=\rho e^{i\theta},\ where\ \theta=\omega t\)
  • 复函数/实函数 嵌入(新增, 调制)分变量，常用线性变换即 *乘法 与 +加法 方式实现;
    例如\(y=A \sin(2\pi n f t + p)\) 是在 \(y=\sinx\) 正弦函数上嵌入(新增, 调制)Amplitude(振幅), Phase(相位)和 Frequency(频率);
  • 每一个复数都有几种可以互相转换的表现形式：
    • 代数表达式：\(z=x+y i,\ x,y \in R\), 由实部\(x\)(\(Re z\)) 和 虚部\(y\)(\(Im z\))两部分组成
    • 三角表达式：\(z=\rho (cos\theta + i sin \theta)\), \(\rho\ is\ Magnitude\)模长 与 \(\theta\ is\ Angle\ in\ radius\)幅角 组合而成; \(Re z=\rho cos\theta\), \(Im z=\rho sin\theta\)
    • 指数表达式：\(z=\rho e^{i\theta}\), \(\rho\ is\ Magnitude\)模长 与 \(\theta\ is\ Angle\ in\ radius\)幅角 组合而成; \(Re z=\rho cos\theta\), \(Im z=\rho sin\theta\)

MD-DFT(Multi-Dimensional Discrete Fourier Transform):

Consider each dimension as a Complex plane;

1. R^n Space Basises-Transform:
   R^n Space 正交基变换:
   Eigenvalue decomposition
   Eigenvectors -> Schmidt正交化 单位向量;

2. projecting the whole multi-dimensional data onto each dimensional Complex plane:

   • 投影正交的单维复平面，
     得到每一维度上一帧复平面图像;
   • 复平面图像都可DFT(Discrete Fourier Transform);
   • 视频就是一帧帧的多维度色彩(信号通道, 例RGB/RGBA)图像;
   • 视频变换成每一维度上帧图像的时间序列，
   • “时间序列”上 帧-帧图像之间的图像不变部分 与 变化部分,
     在投影到每一维度复平面上，接着经过Fourier Transform得到复平面上的cos与sin 正交时间序列信号, 就可以 Encode-Decode(编码-编码) 或 Modulate-Demodulate(调制-解调) 出 隐藏有很强规律性而看似杂乱无章的信号;

3. 将 2D 的图像用复平面的 \(DFT\) 合成：
   将RGBA每一色彩通道的[0,255]数量化值:

   A. flatten: 直接将帧图像的HW[0,255]矩阵拉平(flatten)成一维的信号,
   直接将每维度一帧图拉平成一维数组, DFT 分解成周期性的复平面上cos/sin正交基信号;

   B. 在A的基础上，预先增加插入1条0值数量线轴([128:128])到[0-255], 将[0,255]进行1-1映射到[0,256], 即新插入0轴：
   * 将原[0:127]映射到[0:127],
   * [128:128]作为调整过后的0值数量轴;
   * 将原[128:255]映射到[129:256];

4. 合成任意 \(C^3\) 或 \(R^3\)(3-D) 几何体\(V\)：
   可以将几何体\(V\) 分别投影 到\(xy,\ xy\ and\ yz\)三个复平面, 得到这三个独立复平面上的投影图像，在每个独立复平面上，进行图像的 \(DFT\) 合成；即可合成得到任意的目标 \(C^3\) 或 \(R^3\)(3-D) 几何体\(V\)；

5. 同理可以合成任意 \(C^k\) 或 \(R^k\)(k-D) 高维几何体;

6. 要得到稳定合成的任意 \(C^k\) 或 \(R^k\)(k-D) 高维时间序列信号，只需要嵌入(新增，调制)上时间\(t\)和其他任何需要的独立分量信号(时间序列)。