随机现象之Quanlitative+Quantitative研究: 样本空间的“分割”•随机事件(结果集)的“分布”•样本空间事件域(可测度性, 集合运算封闭性)

1.1 随机事件

• 现象: Phenomenon(客观事实) VS Observation(客观测量/感知到的)
  Phenomenon 是真实的(多方验证)，而Observation侧重测量/感知的。

• 随机: Uncertainty(不确定性，是可度量的，在大量重复试验体现规律性，可度量)。

• 试验: Experiment(全称 Random Experiment随机试验)
  对 随机 现象(Phenomenon) 进行的 实验或观察(Observation) 统称为 "随机试验"，简称"试验"，用字母E表示。
  试验的三个特点:

  • 可重复性:
    在可控制条件相同的情况下，试验可以或原则上可以 "重复进行"。
  • 明确性:
    每次试验的结果有多种可能性，但是在试验之前可以明确一切可能出现的基本结果。
  • 随机性:
    在一次试验中，某种结果出现与否是不确定的，在试验之前不能准确的预言该次试验将会出现哪一种结果。

• 试验:

  • 需要建立一个系统并命名，
  • 将所有影响的条件建模，分 参数(系统设置/调控)、输入变量、输出变量。
  • 事件: 试验的 "每一种可能的结果"称为事件，
  • 随机事件: 在一次试验中，可能出现、也可能不出现的事件，称为随机事件。
    必然事件: 每次试验中，一定出现的事件，用Ω表示。
    不可能事件: 每次试验中，一定不出现的事件，用 Φ 表示。
    注意:
    • 必然事件和不可能事件，在每次试验之前都可以准确预言的，其结果不是随机事件。
      但是为了讨论方便，把他们都看成是特殊的随机事件，作为随机事件的两个极端情况。
    • 事件都是相对于一定的试验及条件而言，如果试验条件变化了，事件的性质也将可能发生变化。
  • 基本事件 与 基本结果:
    一个试验中，我们首先解决的是，他所有可能出现的基本结果，他们是试验中最简单的随机事件。

• 点与集合 和 试验及其事件
  用 "点与集合"的概念，研究 "试验及其事件"，将有助于对他们的理解。
  对一个试验，首先要知道，全部的基本事件，它所有可能出现的基本结果。

  • 样本点 与 基本事件:

    即每一个基本事件，用 "只包含一个元素的单点集合"表示，
    这样的元素称为样本点，即试验的一个基本结果(不是集合)，通常用 ω 表示；
    注意，事件是集合，样本点 只是 "事件(集合)的元素"。

  • 样本空间: 由试验的全部基本事件对应的元素，即 "试验的所有样本点" 组成的"集合"，称为样本空间。
    这样试验的所有样本点组成的集合，即样本空间(是事件/集合)，通常用 Ω 表示。
    对任何一次试验，必然出现全部基本事件之一，也就是一定有样本空间中的一个样本点出现，
    因此样本空间作为一个事件，是必然事件。

  • 复合事件:
    由一些基本事件(集合)复合而成的随机事件(集合)，
    用这些基本事件对应的样本点的集合表示，
    它是样本空间的一个子集。

  • 事件 的 发生 与 出现:
    一次试验中某随机事件出现，当且仅当
    该集合(事件)的一个样本点 在 这次试验中 出现。

• 直观表示:
  为了直观有实用图形表示事件比如用平面上某一个方形或矩形区域表示必然事件该区域中的一个子区域表示事件

• 事件间的关系和运算:
  在研究随机现象时，我们看到同一个试验，可以有许多随机事件，有些比较简单，有些则相当复杂；
  为了由较简单事件的规律，推导出较复杂事件出现的规律，就要研究同一试验的各种事件之间的关系和运算。

数量化：

• Quantitative: Qulifying the uncertainty of phenomenon:

  1. 抽取 现象的集合模型(判定是否随机性、是否可大量重复试验，样本空间及其样本点);
  2. 建立 随机现象 的 事件模型，事件的分类、分步；
  3. 设置 事件域 保证事件集合运算的严格性；
  4. 将事件集合的元素用数学符号、数表示;

• Quantitative: . Probability modeling:

  1. 概率函数的公理化；
  2. 对事件集合分割;
  3. Probability Distribution;
  4. Set Operation -> Numerical Operation.

样本空间的分割：i~[1, n], 有A1, A2,…,An两两相互不相容，且 A1+A2+…+An = Omega(样本空间, 全集)

随机事件的概率分布：对随机事件E={e1, e2,…en}, 有:
* e1,e2,…,en两两互不相容，且 P(e1) + P(e2) + … + P(en) = 1

样本空间本质是集合，一个随机现象一切所有的基本结果组成的集合；
1. 集合性: 集合论Set Theory的集合；
2. 完备性: 一切所有的基本结果组成;
3. 多样性: 两个及以上的样本(基本结果), 另可将确定性现象看做结果只有一个的集合。
4. 多元性: 集合元素可以是数也可以不是数!

可测度性集合F: 对其元素(事件集合)的运算(补并交差)有严格的封闭(元素间运算的结果仍是F元素)：
事件域(集合)F:
* 首先包含空集与样本空间Omega;
* 对集合“补运算”封闭;
* 对集合“并运算”封闭。

概率分布(Probability Distribution):
(随机事件的)概率的公理化:
公理化的概率定义:
对于给定的:
集合函数P : 自变量是集合e(随机事件), 因变量是实数P(e)
随机事件集合 E ={e1, e2,…en},
必须要满足以下三条公理
1. 非负性: 有 P(e1)>=0, P(e2)>=0, …, P(en)>=0;
2. 正则性: P(e1) + P(e2 + … + P(en) = 1;
3. 可列可加性: P(e1+ e2 + … + en) = P(e1) + P(e2) + … + P(en);
则成 集合函数P 是 随机事件E 的概率函数;

概率(函数)分布:
对于给定的:
随机事件E 的一个 子集 E0 ={e1, e2,…en},
事件E的概率函数为P,
有:
1. 完备性: E0 = E
2. 正则性: 1 = P(e1+ e2 + … + en) = P(e1) + P(e2) + … + P(en);
则称: P(e1) + P(e2) + … + P(en) 是(随机事件E的)概率(函数)的一个分布.