二次函数的深层理解、题目技巧和应用
请在学习完初识二次函数后再来学习。
观前提示：本章会不定期增补修改。
对\(a,b,c\)的理解
前面已经说过，\(a\)决定的是开口方向和大小。
那\(b\)呢？
根据顶点\(V\)的横坐标\(-\frac b {2a}\)可知，如果\(a,b\)异号，则顶点横坐标为正；同号则为负。
你可能认为这没有什么用，但请务必记住。在后面的题目中，你会见识到这一点的重要性。
\(c\)就比较简单了，其表示的是抛物线与\(y\)轴交点的纵坐标（进阶一点来说就是在\(y\)轴上的截距）。
待定系数法确定二次函数
主播主播你怎么只知道抄你的反比例函数
别问，问就是懒得重想标题了
来看一道期末真题。
（\(2023\)·鼓楼）求下列二次函数的表达式：
\((1)\)已知二次函数图像经过点\((3,0)\)，\((-2,0)\)和\((0,6)\)。
\((2)\)已知二次函数图像顶点为\((2,0)\)且经过\((-2, 4)\)。
第一题还是比较简单的，照着一次函数和反比例函数来：
解：设二次函数表达式为\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)。
由题意得：
\[\left\{ \begin{aligned} &9a+3b+c=0 \\ &4a-2b+c=0\\ &c=6\\ \end{aligned} \right. \]爆破一手，解得：
\[\left\{ \begin{aligned} &a=-1 \\ &b=1\\ &c=6\\ \end{aligned} \right. \]\[\therefore 二次函数表达式为y=-x^2+x+6 \]
第二题，我先把笨办法讲掉，然后再说简单的。
解：设二次函数表达式为\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)。
由题意得：
\[\left\{ \begin{aligned} &-\frac b {2a}=2 &①\\ &\frac {4ac-b^2} {4a}=0&②\\ &4a-2b+c=4&③\\ \end{aligned} \right. \]有些同学不知道怎么解的，我把简易过程放在这里。
\[②, 4a\ne 0\Rightarrow 4ac-b^2=0\Rightarrow b^2=4ac \]\[①\Rightarrow b=-4a \]\[把b=-4a代入②\Rightarrow 16a^2=4ac \]\[\because a\ne 0\therefore c=4a \]\[把b=-4a, c=4a代入③\Rightarrow a=\frac 1 4 \]经过代数爆破，非非非非非非常容易解得：
\[\left\{ \begin{aligned} &a=\frac 1 4 \\ &b=-1\\ &c=1\\ \end{aligned} \right. \]\[\textcolor{red} {经检验}，二次函数表达式为y=\frac 1 4x^2-x+1 \]
想必各位已经想到第二种方法了，那就是用顶点式。
解：设二次函数表达式为\(y=a(x+h)^2+k(a\neq 0)\)。
\[\because 顶点坐标为(2, 0) \]\[\therefore h=-2, k=0\Rightarrow y=a(x-2)^2 \]由题意得：
\[a(-2-2)^2=4 \]解得：
\[a=\frac 1 4 \]\[\therefore 二次函数表达式为y=\frac 1 4(x-2)^2 \]
你必须承认这是本题最简单的方法了。只要一个一元一次方程，岂不美哉！
你又动起了脑筋。哎，顶点式这么好用，那\((1)\)能不能用啊。
当然可以。
解：设二次函数表达式为\(y=a(x+h)^2+k(a\neq 0)\)。
\[\because 函数图像过(3, 0), (-2,0) \]\[\therefore 根据对称性，顶点横坐标为\frac {3+(-2)} 2=\frac 1 2 \]\[\therefore h=-\frac 1 2\Rightarrow y=a(x-\frac 1 2)^2+k \]由题意得：
\[\left\{ \begin{aligned} &a(3-\frac 1 2)^2+k=0 \\ &a(-\frac 1 2)^2+k=6\\ \end{aligned} \right. \]（要注意这边千万不能再用\((3,0)\)和\((-2, 0)\)了，不然算出来方程组无解的。）
解得：
\[\left\{ \begin {aligned} & a=-1\\ & k=\frac {25} 4\\ \end {aligned} \right. \]\[\therefore 二次函数表达式为y=-(x-\frac 1 2)^2+\frac {25} 4 \]
你必须承认这是本题最简单的方法了。只要一个二元一次方程组，岂不美哉！
不！这不是最简单的方法！
我 们 要 设 表 达 式 为 \(y=a(x-3)(x+2)(a\ne 0)\) 。
由 题 意 得
\[-3\cdot 2a=6 \]解 得
\[a=-1 \]\[\therefore y=-(x-3)(x+2)=-x^2+x+6 \]
为什么能这么设？这是我们要考虑的一个问题。以下内容仅做拓展。
都说三点确定一条抛物线（第\((1)\)题的法\(1\)已经告诉我们），那如果一条抛物线与\(x\)轴有两个交点，那就是已经确定了抛物线的零点位置。
根据十字相乘法，能够因式分解的二次三项式\(x^2+px+q\)，总能分解为\((x+a)(x+b)\)的形式。那为何不直接将二次函数中的二次三项式写成十字相乘的形式呢？
需要说明一点，即我们这里的十字相乘不再局限于整数域（\(\N\)），而扩展到了有理数域。也就是说，分解后的结果可以是\((x-1145.4514)(x+5418.4188)\)，而“能因式分解”的条件也变为了：二次三项式等于\(0\)所形成的方程有两个不等的实数根。
目的是因式分解；条件是与\(x\)轴有两个交点，或者说能够因式分解。步骤就很简单了。因式分解后，二次三项式变为一个多项式乘积的形式。只要任意一个因式为\(0\)，最终值一定为\(0\)。
令二次三项式为\(S\)。根据试根法，因为当\(x=3\)时\(S=0\)，因此\(S\)中必含因式\(x-3\)；同理，\(S\)中必含因式\(x+2\)。由于它是二次三项式，不可能有其它含\(x\)的因式，故因式分解后的基本形式确定：\((x+2)(x-3)\)。
当你确定基本形式后，你会发现如果直接将该形式作为二次函数的运算部分，二次项系数就被固定下来是\(1\)了。况且，你这才两个点呢。要想控制二次项系数（或者，从下面的图中看来，控制开口大小和方向），就加上一个系数\(a\)。
拓展部分到此结束。如果上面没听懂，你只需要记住：
如果已经给出一个二次函数和\(x\)轴有两个交点，最好是给出其中一个或两个交点的坐标（设它们分别为\((p, 0)\)，\((q, 0)\)），就可以使用一种课本不承认的表示形式：\(y=a(x-p)(x-q)\)。这样通常可以简便计算。
这禁忌之术就被称为：
交点式（\(\text {intersection form}\)）。
二次函数与取值范围（基础篇）
对于抛物线\(y=x^2\)，当\(-2<x\le-1\)时，\(y\)的取值范围是多少？
简单！当\(x=-2\)时\(y=4\)；当\(x=-1\)时\(y=1\)。取个中间，注意等号，搞定！
好！好啊。那改下题目，看阁下如何应对！
对于抛物线\(y=-2x^2\)，当\(-3<x<1\)时，\(y\)的取值范围是多少？
当\(x=-3\)时\(y=-18\)；当\(x=1\)时\(y=-2\)。取个中间，注意等号，搞定！
住口！你且看看图像，是如你所言么？
原来，因为二次函数有多个增减性，在顶点处会拐弯，因此要分段考察。做这类题时，应遵循如下步骤：
- 看到函数，先求顶点坐标。
\(y=-2x^2\)，显然顶点坐标\((0,0)\)。
- 看取值范围是否跨越了顶点。
- 如果没跨越，按照许韦升的方法算即可。
- 如果跨越了，从顶点处劈两半分别计算，然后求他们整体覆盖的取值范围。
分成\(-3<x\le 0\)和\(0<x<1\)计算。
它们都没有跨越顶点，因此照常计算，一个算得\(-18<x\le 0\)，一个算得\(-2<x< 0\)。
它们两个合并起来，就是\(-18<x\le 0\)。
当然，最保险的方法还是画图。主播当年错过这道题，原因就是没画图，然后\(0\)没取到。
对于下面这一类题目，那还是推荐保险一点的方法。
对于抛物线\(y=-2x^2\)，当\(-3<y\le -1\)时，\(x\)的取值范围是多少？
放心吧，你脑子是转不过来的，老老实实画图！
就看被蓝色区域覆盖的函数图像，竟然还是个分段函数。\(y=-3\)是虚线，\(y=-1\)是实线，这个一定要标好。四个交点简单算下：
立马得到答案\(-\frac {\sqrt 6} 2<x\le -\frac {\sqrt 2} 2\)或\(\frac {\sqrt 2} 2\le x<\frac {\sqrt 6} 2\)。
这类题目主要就是细心，不能少等号，或者没取到顶点。想验算？那就画图！这种分是不能失的。
画图技巧
为什么单独劈一块讲“画图技巧”呢？
画一次函数很简单，取两个点（一般是与\(x, y\)轴的交点），尺子一连。
画反比例函数也不难，取几个点（一般是\(k\)的因数为横纵坐标）大致一连，反正双曲线长得都差不多。
那抛物线呢？既有开口方向、开口大小的限制，还要确定位置，想画的相对准还是比较难的。
对策就是我们之前顺嘴提过的一点。
那么如何快速计算顶点呢？
我们都知道顶点坐标\((-\frac b {2a}, \frac {4ac-b^2} {4a})\)，但是真的要把\(a,b,c\)代进去挨个算吗？我们体验一下，假设要计算\(y=-x^2+2x+3\)的顶点坐标。
嗯，先提\(a,b,c\)。
\[a=-1, b=2, c=3 \]算横坐标。
\[-\frac b {2a}=-\frac 2 {2\times (-1)}=-\frac 2 {-2}=1 \]算纵坐标。
\[\frac {4ac-b^2} {4a}=\frac {4\times (-1)\times 3-2^2} {4\times (-1)}=\frac {-16} {-4}=4 \]哦！顶点坐标是\((1, 4)\)。
不仅费草稿纸，又费脑子，还容易错。看到那么长一个分式，你还想算吗？因此接下来给一个快速算顶点的方法。
第一步还是先提\(a,b,c\)。
\[a=-1, b=2, c=3 \]观察到\(a,b\)异号，反过来横坐标为正。
符号不用管了，直接数值除以两倍数值，\(2\)除以\(2\)倍\(1\)，顶点横坐标是\(+1\)。下一步算纵坐标。\(2B\)才把\(\frac {4ac-b^2} {4a}\)代入呢！我直接
\[当x=1时，y=-1^2+2+3=4 \]哦！顶点坐标是\((1,4)\)。
确定顶点后，先点出来，大致位置即确定。
然后看\(a=-1\)，说明开口朝下，大小和\(y=x^2\)一样，就可以动笔了。
最后可以再看一点，就是和\(y\)轴的交点为\((0,3)\)。抛物线往上怼，然后一路降下去。
这样画出的图像大致准了，研究问题时就不会遇到精确度上的问题。
二次函数与取值范围（提高篇）
阅读下面的材料。
小明在学习中遇到这样一个问题：求二次函数\(y=x^2-6x+7(1\le x\le m)\)的最大值。他画图研究后发现，\(x=1\)和\(x=5\)时的函数值相等，于是他认为需要对\(m\)分类讨论。
他的解答过程如下：
\[\because y=x^2-6x+7的对称轴为直线x=3 \]\[\therefore x=1和x=5时的函数值相等 \]\[若1\le m< 5，则x=1时，y_{max}=2 \]\[若m\ge 5，则x=m时，y_{max}=m^2-6m+7 \]请你参考小明的思路，解答下列问题：
\((1)y=2x^2+4x+1(-2\le x\le 4)\)的最大值为\(\_\_\_\)。
\((2)\)求\(y=2x^2+4x+1(p\le x\le 2)\)的最大值。
\((3)\)若\(y=2x^2+4x+1(t\le x\le t+2)\)的最大值为\(31\)，则\(t\)的值为\(\_\_\_\)。
在下面的文字中，我先从高中借一点符号，规定\(f(a)\)表示\(x=a\)时的函数值。其实就是因为不想写那么多字了。
第\((1)\)题很简单，代入基础篇的技巧即可。
\((2)\)题你一看，跟小明的例题没有区别。那我们就先仿它一手，接下来再慢慢讲原理。
解：$$\because y=2x^2+4x+1的对称轴为直线x=-1$$
\[\therefore x=2和x=-4时的函数值相等 \]\[若-4< p\le 2，则x=2时，y_{max}=17 \]\[若m\le -4，则x=p时，y_{max}=2p^2+4p+1 \]
看来光模仿还模仿不来，像这些\(p\)的取值范围，不搞懂是根本改不过来的。话不多说，先画图。
首先可以肯定的是，通过\(p\le x\le 2\)可以看出\(p\le 2\)。那我们就把\(p\)从\(2\)开始，往小的移动，看取值范围怎么变化。
上面是\(p=1\)时。仔细看蓝色区域里的图像，单调递增，因此最大值是\(x=2\)时的函数值，即\(f(2)\)。
\(p=-1\)了，最大值还是\(f(2)\)。
\(p=-3\)，已经跨越了顶点，于是劈成两半。左半边最大值\(f(-3)\)，右半边最大值\(f(2)\)。\(f(2)>f(-3)\)，所以最大值依旧是\(f(2)\)。
\(p=-4\)时，\(f(2)=f(-4)\)，这也是题目中把该点作为转折点的原因。这一点以后，\(f(2)<f(p)\)了，因此最大值变成\(f(p)\)，并且一直继续下去（这是由于\(x<-1\)时，\(y\)随\(x\)的减小而增大，对于\(p<-4\)，\(f(p)>f(-4)=f(2)\)）。
懂得这种“拖进度条式”的分析方法后，第\((3)\)题也可以秒解了。\(t\le x\le t+2\)，翻译一下就是宽度为\(2\)的“进度条”在函数上来回拖动，在某个时候，条内函数的最大值是\(31\)，求这个时候进度条拖到哪儿了。
那我们就拽拽看！
先从\(t+2\le-1\)（进度条全部在对称轴左侧）开始。此时，容易看出，最大值为\(f(t)\)。
对称着说，当\(t\ge -1\)（全部在对称轴右侧）时，最大值为\(f(t+2)\)。
接下来是跨越对称轴的一部分。上面展示的情况下，\(y_{max}=f(t)\)，但并非总是如此。对称轴两侧增减性不同，随着进度条向右拖动（\(x↑\)），一侧下降，一侧上升。由此推断必定有一个转折点，满足通过该点之后，\(f(t+2)>f(t)\)，从而最大值变为\(f(t+2)\)。
再联系对称性，可以知道，转折点（即\(f(t)=f(t+2)\)时）肯定是对称轴处于\(t\)和\(t+2\)正中间，即\(t+1=-1, t=-2\)的时候。
不知道你有没有发现，\(y_{max}\)和\(t\)之间，其实也是一种函数关系！根据我们发现的结论，表达式如下：
还是分段函数。整理得：
我们要求\(y_{max}=31\)时\(t\)的值。现在目标明确，接下来不用多说了吧。
当\(y_{max}=31\)时，
\(①t<-2\)：
\[2t^2+4t+1=31 \]\[解得t_1=3, t_2=-5 \]其中，\(t_1=3\)不在范围内，舍去。
\(②t\ge-2\)：
\[2(t+2)^2+4(t+2)+1=31 \]你猜我为什么不化完！
\[t_1+2=3, t_2+2=-5 \]\[解得t_1=1, t_2=-7 \]其中，\(t_2=-7\)不在范围内，舍去。
\[\therefore t的值为-5或1. \]
总结一下，取值范围类型的题目一般不太难，但前提是你画图分析！当技巧行不通时，永远记住画图是你最万能的法宝。
另外，如果是只有一个不等式的取值范围，如\(x<-2\)之类，也可以靠画图解决。事实上，它大概率只能靠画图解决。
二次函数中的函数思想（含参）
你发现这个标题看不懂，于是你继续往下读。
（\(2017\)南京中考改编）已知函数\(y=-x^2+(m-1)x+m\)（\(m\)为常数）。
\((1)\)求证：不论\(m\)为何值，该函数的顶点都在函数\(y=(x+1)^2\)的图像上。
\((2)\)当\(-2≤m≤3\)时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围。
你可能认为这个题目很简单，但无论如何还是先分析完。
\((1)\)，证明嘛，按照他的思路，先把顶点表示出来。
提醒一下，之前的技巧在解答题里不能直接用！
接下来，题目转化为：
求证不论\(m\)为何值，点\((\frac {m-1} 2, \frac {(m+1)^2}4)\)都在函数\(y=(x+1)^2\)的图像上。
基本功了吧！判断一个点在不在图像上，就要把横坐标代入，看纵坐标一不一样。
你暗想这道题也没什么难度嘛，于是继续下一题。
\((2)\)有点绕吧，但是也没有难到那种程度。要顶点纵坐标的取值范围，无非就是把顶点纵坐标用\(m\)表示出来嘛。
到这里你应该知道了，\(y_V\)和\(m\)之间又套了一层函数关系，这就是这一节标题的意义。
题目转化为：
当\(-2≤m≤3\)时，求函数\(y_V=\frac {(m+1)^2}4\)取值范围。
取值技巧，启动！经过画图和计算，得到答案：
你又在暗想，这“函数思想”也没强到哪里去嘛！还不是轻轻松松就秒掉了。别急，好戏当然得在后面啊。
（\(2018\)南京改编）已知二次函数\(y=2(x-1)(x-m-3)\)（\(m\)为常数）。当\(m\)取什么值时，该函数的图像与\(y\)轴的交点在\(x\)轴上方？
太简单了吧！照他所说，就把二次函数和\(y\)轴的交点坐标表示出来呗！
在\(x\)轴上方，也就是
你还沉浸在秒杀题目的喜悦之中。下面再来一题。
\((1)\)若实数\(a,b\)满足\(a+b^2=2b+1\)，则代数式\(a^2-4a+2b^2-4b-4\)的最小值为\(\_\_\_\)。
\((2)\)已知实数\(a,b\)满足\(a-b^2=4\)，则代数式\(a^2-3b^2+a-14\)的最小值为\(\_\_\_\)。
嗯……两题都是两个未知数，让求最小值，不太现实。于是你立刻定下目标：消元！
先看第\((1)\)题，不知道用谁表示谁，就先看后面要求的代数式。不难发现，\(2b^2-4b\)和\(b^2-2b\)有联系，那就用\(a\)表示\(b^2-2b\)，得：
代入原式，得：
就是求它最小值！干它！配方结束战斗！
还是那句话，趁热打铁，来看第\((2)\)题。一眼就是用\(a\)表示\(b^2\)。
代入原式，得：
全错。怎么样？惊不惊喜？意不意外？
别急，马上告诉你错哪儿了。
你是不是把代入完的代数式看成了一个函数？
看嘛，自变量是\(a\)，函数值就是这个代数式的值！
那既然是函数，自变量的取值范围呢？
先说第\((2)\)题，\(b^2\ge 0\)，那\(a\ge 4\)是必须的吧？
既然\(-3\)取不到，就应该另做考虑。简单验一下增减性，发现\(f(4)\)（即\(6\)）才是最小值。
第\((1)\)题虽然没有明显的范围提示，但是看见化出的\(b^2-2b=1-a\)就应该警惕。\(b^2-2b\)没有取值范围吗？有的。
那么，刚刚配方得到的结果\((a-3)^2-11\)中，\(a=3\)就是取不到的，函数的取值范围限定在\(a\le 2\)。
题目于是转化为：
求\(y=(a-3)^2-11(a\le 2)\)的最小值。
用取值范围的技巧求得\(y\ge -10\)即可。
这样看来，函数思想还不容小觑，尤其是对于套了一层函数的，尤其要注意自变量的取值范围。这类范围一般隐蔽在条件中，如上两题换元时遇到的平方，难以发现。如果不把换完的代数式看成函数的话，就更想不到取值范围一回事了。
二次函数与方程（基础篇）
结论其实和你们预料的一样，先奉上。
一般地，二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像与一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根有如下关系：
- 如果二次函数的图像与\(x\)轴有两个交点\((m,0)\)和\((n,0)\)，那么方程有两个不相等的实数根\(x_1=m, x_2=n\)。
- 如果二次函数的图像与\(x\)轴只有一个交点\((m, 0)\)，那么方程有两个相等的实数根\(x_1=x_2=m\)。
- 如果二次函数的图像与\(x\)轴没有交点，那么方程无实数根。
反之，根据一元二次方程根的情况，可以判断对应二次函数的图像与\(x\)轴的位置关系。
其实这一段话的本质是“交点\(↔\)联立方程组”。不信的话，可以梳理一下我们学过的坐标系交点问题，看一看本质是不是都是联立。
求直线和坐标轴的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=kx+b\\ &x(\text {or } y)=0\\ \end {aligned} \right. \]求直线和直线的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=k_1x+b_1\\ &y=k_2x+b_2\\ \end {aligned} \right. \]求直线和反比例函数图像的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=k_1x+b\\ &y=\frac {k_2}x\\ \end {aligned} \right. \]（任意两个反比例函数图像之间都没有交点，且它们和坐标轴也没有交点。）
求抛物线和坐标轴的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=ax^2+bx+c\\ &x(\text {or } y)=0\\ \end {aligned} \right. \]
甚至还可以有：
求坐标轴和坐标轴的交点：（疑似瞎搞）
\[\left\{ \begin{aligned} &x=0\\ &y=0\\ \end {aligned} \right. \]解得：\(\left\{\begin{aligned}&x=0\\&y=0\\\end {aligned}\right.\)，交点坐标为\((0,0)\)。（并非瞎搞）
求抛物线和直线的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=ax^2+bx+c\\ &y=kx+d\\ \end {aligned} \right. \]求抛物线和抛物线的交点：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=a_1x^2+b_1x+c_1\\ &y=a_2x^2+b_2x+c_2\\ \end {aligned} \right. \]
然后解方程组，把两个方程右边连等，出几个解就有几个交点（在没有特殊取值范围的前提下），代入求\(y\)，每一个点坐标就出来了。
课本规定，如果是函数图像和坐标轴交点，要写成如下形式：
本质还是联立，不是吗。但如果写成方程组应该也不会算错。
同样的，如果是解方程（组）的问题，有时也可以从“形”的角度看成函数图像的交点。这一块不再细讲，题目走起。
已知二次函数\(y=kx^2-7x-7\)的图像与\(x\)轴有两个交点，求\(k\)的取值范围。
哎呀太简单了吧！有两个交点说明\(b^2-4ac>0\)，代入：
你要真这么答，遇到某些严格的老师，一整题的分就没喽。
怎么错的？那我问你，题目里的二次函数，加粗了还看不见？\(k\)要满足什么要求？
你感到不服，心里暗暗叫苦，\(****\)玩意儿，非得阴我，就是不讲武德！于是接着看下一题。
已知函数\(y=mx^2+3mx+m-1\)的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数\(m\)的值为\(\_\_\_\)。
假设你在考场上，你的思路大概会是这样的。
嗯，看上去不是难题，一分半秒杀，坐标轴恰有两个交点，说明是\(x,y\)两轴加起来两个，\(y\)轴自己肯定有且只有一个，原因很简单，当\(x=0\)时\(y\)肯定有值，那废话不多说，就是说和\(x\)轴只有\(1\)个交点，Wow这不是我刚背过的方程与函数关系吗，既然是二次函数，等等，这是二次函数吗，这不是，只说了函数，二次项还有系数，系数还没说不等于\(0\)，哈哈哈发现坑了，分情况讨论，第一种\(m=0\)，变成常函数\(y=-1\)，和\(x\)轴没有公共点，排除，第二种\(m\ne 0\)，也就是\(b^2-4ac=0\)，恰好和\(x\)轴只有一个交点，列方程\((3m)^2-4m(m-1)=0\)，赶紧解，说好的一分半马上要过了，化简得\(5m^2+4m=0\)，秒得\(m_1=0\)，哎呀不是说\(m\ne 0\)吗，划掉，第二个解\(m_2=-\frac 4 5\)，正合我意，填上去，哎呀好险好险。
这就是考场上的头脑，一逗到底中间不带停顿的。说实话能想到函数分类讨论的已经很不错了，可惜后来要排除掉。
不过，这道题还有坑，非常深，我当时也是到最后才发现。
请问，\(y\)轴上的那个交点一定是\(y\)轴的吗？为什么不能是\(x,y\)轴的公共点呢？
哦，布豪，过原点的没算上，也就是当\(x=0\)时\(y=0\)，得到条件\(m-1=0\Rightarrow m=1\)，验算一手，\(y=x^2+3x\)，过原点，而且交点分别是\((0,0)\)和\((-3,0)\)，完全符合条件，答案是\(-\frac 4 5\)或\(1\)，Perfect！
没想到吧，如果真的那么骂，不管什么题都是出题老师在背后阴你了。所以说，还是得多考虑一手，说不定\(3\)分就回来了呢。
再下面一题就没有坑了，我保证！
二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\ne 0)\)的图像如图所示。
若方程\(ax^2+bx+c=k\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。
我跟你说，遇到这种函数和方程长得像，但又不是完全一样的这种情况，就把函数往方程上凑，或者方程往函数上凑。对于这道题，转化的方法有两种。
- 注意到\(ax^2+bx+c=k\Rightarrow ax^2+bx+c-k=0\)。由此理解为：函数\(y=ax^2+bx+c\)向下平移\(k\)个单位所得的图像和\(x\)轴的交点。有两个不相等的实数根，就是说交点有两个。容易发现，只要\(k<2\)即可。\(k=2\)的情况你可以看一下，正好只有一个交点，不满足要求。
- 注意到\(ax^2+bx+c=k\)可以理解为：函数\(y=ax^2+bx+c\)和\(y=k\)的交点。有两个不相等的实数根，就是说交点有两个。容易发现，只要\(k<2\)即可。\(k=2\)的情况你可以看一下，正好只有一个交点，不满足要求。
（怎么有一股淡淡的人机感）你看，本质是一样的。
常见坑汇总
由二次函数两半增减性不同引申出如下坑：
- 给出\(x\)的取值范围时故意跨过顶点。
- 不给你\(x\)的取值范围，给\(y\)的，这种有时双答案。
- 不定取值范围（提高篇例题）时，顶点左右最值可能需要分类讨论。
以上坑的共同对策是画图。
由换元类题目或函数思想引申出如下坑：
- 自变量的取值范围隐藏在另一个自变量里。
对策是把式子看成函数，仔细寻找自变量的取值范围。
由题目文字游戏引申出以下坑：
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“双圈问题”。
仿照一元二次方程，这类题目通常在二次函数和函数的说法之间切换，把实数根的说法换成与\(x\)轴的交点即可。以下是它们的例题对比：已知方程\(y=kx^2-7x-7\)有两个不等的实数根，求\(k\)的取值范围。
已知二次函数\(y=kx^2-7x-7\)的图像与\(x\)轴有两个交点，求\(k\)的取值范围。
对策如下：
如果二次项系数不含参，那放心做，必须是二次函数。
如果二次项系数含参，再看第一个圈里的内容。
- 第一个圈是二次函数的话，先写下二次项系数不等于\(0\)，以防后面忘掉，然后正常做题，最后带上这个条件即可。
- 第一个圈是函数的话，分类讨论二次项系数是不是\(0\)，务必记住后面要把两种情况合起来。
二次函数与方程（提高篇）
——交点、联立在大题和压轴题中的运用
先上个有难度的。仅做拓展！
思考：方程\(|x^2-2x-3|=2x+b\)解的个数。
管它什么方程，来个硬碰硬看看！
\(①x^2-2x-3> 0\)，即\(x<-1\)或\(x>3\)时：
原方程可化为：
\[x^2-2x-3=2x+b \]整理，得：
\[x^2-4x-(b+3)=0 \]这里容我偷个懒，把\(\Delta\)借过来用。
\[\Delta=(-4)^2-4\cdot (-b-3)=4b+28 \]讨论\(\Delta\)和\(0\)的大小关系。
\(1\degree \Delta>0\)，即\(x>-7\)时，求出两个实数根：
\[x=\frac {-b±\sqrt {\Delta}} {2a}=\frac {4±\sqrt{4b+28}} 2=2±\sqrt {b+7} \]\[\therefore x_1=2+\sqrt {b+7}, x_2=2-\sqrt {b+7} \]\[\dots \]
好吧，看到后面还有\(\Delta\)两种情况，绝对值内一种情况，\(x\)和\(b\)的关系还理不清，是时候换种思路了。
哦？之前好像讲过，解方程可以用“形”的方法考虑的来着。把等式左右看成函数！
画出图像。\(y_1\)的图像有点难画，不过没关系！绝对值得特性我们已经探究过了，这里复习一下。
对于绝对值函数\(y=|f(x)|\)（这里的\(f(x)\)指任意的函数运算，因为我们并不知道绝对值里面是什么，所以统一用\(f(x)\)代替，意思是自变量\(x\)进行一次规定的函数运算。它可以是\(kx+b\)、\(\frac k x\)、\(ax^2+bx+c\)等），可以拆分成一个分段函数：
\[\left\{ \begin{aligned} &y=f(x)&f(x)\ge 0\\ &y=-f(x)&f(x)<0\\ \end{aligned} \right.\]容易发现，其图像在\(x\)轴上半部分（\(y\ge 0\)）是\(y=f(x)\)的图像，而剩余部分是\(y=-f(x)\)的图像。
不难得到，\(y=-f(x)\)的图像和\(y=f(x)\)关于\(x\)轴对称。简易证明如下：
设\(y=-f(x)(x<0)\)上有一点\((t, -f(t))\)。
其对称点\((t, f(t))\)显然在\(y=f(x)\)图像上。得证。
代到现在，\(y_1\)的函数图像在\(x\)轴上半部分是\(y=x^2-2x-3\)的图像，而剩余部分则把\(y=x^2-2x-3\)沿\(x\)轴翻折即可，也就是\(y=-x^2+2x+3\)的图像。（记住！后面要考）
轻松画出来。\(y_2\)就更简单了，“移一移”即可。
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