区间DP

区间DP

区间DP属于DP的一种，进行转移的时候往往与区间的状态有关：

P1880 NOI1995] 石子合并 - 洛谷

这是最经典的区间DP题，我们发现，若只设计一维状态 \(f_i\) 来表示当前选了 \(i\) 个数的最大值，会无法转移，所以设计二维状态 \(f_{i,j}\)来表示从 \(i\) 到 \(j\) 的最大值

我们不难发现，对于最后的最大/小值，它被合并的位置一定是原序列的两个数字之间的位置，对于被合并的两边也遵循这个规律，只由两个数合并出来的堆也可以通过枚举断点得出 ，所以我们可以枚举长度为 \(len\) 的区间被合并的位置来更新最大/小值，所以我们有动态转移方程式；

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])

不难理解，对于这个动态转移方程式，我们在长度为 \(j-i+1\) 的区间里枚举的这个区间应该被合并的位置 \(k\) 来寻找最优的合并位置（其中 \(sum_{i,j}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的和）

但是这道题还有一个问题，那就是这堆石子是环形排列的，意思是第一个和最后一个堆也可以合并，但是只要思考一下就会发现很多解决的方法，比如将序列复制一份接在原序列后，这样直接求解新序列和环形是一样的

所以代码就很好写了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
struct Rock{
	int mink;
	int maxk;
}f[N][N];
int a[N<<1];
int sum[N][N];
int n;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);     cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[i+n]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n*2;i++){
		for(int o=1;o<=n*2;o++){
			f[i][o].mink=0x3f3f3f3f;
			if(i==o){
				f[i][o].mink=0;//不合并就没有分
			}
			for(int k=i;k<=o;k++){
				sum[i][o]+=a[k];
			}
		}
	}
	for(int len=1;len<n;len++){//从长度为 2 的区间开始枚举以更新答案
		for(int l=1;l<n*2;l++){
			int r=l+len;
			if(r>=n*2) continue;
			for(int k=l;k<r;k++){
				f[l][r].mink=min(f[l][r].mink,f[l][k].mink+f[k+1][r].mink+sum[l][r]);
				f[l][r].maxk=max(f[l][r].maxk,f[l][k].maxk+f[k+1][r].maxk+sum[l][r]);
			}
		}
	}
	int ansmax,ansmin;
	ansmax=-0x3f3f3f3f;
	ansmin=0x3f3f3f3f;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ansmax=max(ansmax,f[i][i+n-1].maxk);
		ansmin=min(ansmin,f[i][i+n-1].mink);
	}
	cout<<ansmin<<endl<<ansmax<<endl;
	return 0;
}