随笔分类 - 数学
摘要：线性空间 群、域、环的概念 代数系的概念： 若在非空集合 \(X\) 中，定义了若干个运算 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\) 都在 \(X\) 上封闭。则称它们构成的体系 \(<X:f_1,f_2,\cdots,f_n>\) 为一个代数系统（代数系）。 群 群的定义： 对代数系统 \(<
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摘要：题意 给你两个序列 $a,b$，求严格递增的序列 $c$ 的个数，满足：$\forall i,c_i\in[a_i,b_i]$。特别的，如果 $c_i=0$ 则无视当前这个 $c_i$。 Solution 好困难的 dp，耗我半个晚上。 首先是对区间离散化，然后转化成一堆区间。此时对 $dp$ 的定
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摘要：题意 有 $n$ 个敌方单位，每次操作会使其中某个单位有 $p$ 的概率减少 $1$ 的血量。每次询问会给出 $k$ 个敌方单位的编号，求从这些存活的敌方单位中等概率选取一个，每个敌方单位被选取的概率。 最后输出每个敌方单位的期望血量。 Solution 小数据范围，考虑暴力维护每个敌方单位每个血量
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摘要：题意 给定一张有向图，点有点权，边有边长。现在你从 $1$ 号点出发，经过时间 $T$ 之后恰好回到 $1$，期间每次经过每一个点都可以获得它的点权。其中，在不同的 $k$ 次时间某些节点会能获得额外的权值。求这 $T$ 时间能获得的最大权值和。 Solution 首先不考虑额外的权值。考虑到 $n
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摘要：Solution 设兔子 $a$ 在坐标 $i$ 的概率是 $p_i$，然后现在有一只在坐标 $j$ 上的兔子 $b$ 要关于 $a$ 做一次对称，则 $b$ 兔子对称完之后坐标的期望应该是： $$ \sum(2i-j)\times p_i=\sum2i\times p_i-j\sum p_i=2\
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摘要：前言 好消息，CSP-S t4 出 DDP，并且有的人场上为了调 T3 的假算没写。。。 概述 其实是个挺简单的东西，就是如果一道题可以通过 dp 轻松解决，但是题目加上了每次询问修改一些信息的话，每次重新跑 dp 肯定是会寄寄的，所以我们需要一个更加快速的方式。 解决方法很简单，利用矩阵。如果 d
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摘要：题意 盲盒模球，每次拿出一个球，然后放入黑白球各一个，然后再拿一个。求最后拿出的球按顺序排列的序列个数。 Solution 考虑每一时刻黑白球的个数都不为负，所以考虑以黑球个数为横坐标，白球个数为纵坐标。这样我们对这里的操作进行一个转化： 先取一个白球，后取一个白球：相当于向斜右下对角线走一步； 先
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摘要：题意 给定一个无限的序列 $s$，周期为 $n$，并给定 $s_{0\sim n-1}$。在给定 $m$ 个位置修改 $s$ 的值。 对于一个 $f$，有 $f_i=s_{i-1}f_{i-1}+s_{i-2}f_{i-2}$，求 $f_k\mod p$。 Solution 由于 $k$ 比较大，所
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摘要：题意 现求一个集合 $S\subseteq{1,2,\cdots,n}$，要求满足任意两个在此集合内的数 $a,b$，它们的差 $|a-b|\not ={x}$ 并且 $|a-b|\not ={y}$。求集合 $S$ 的最大大小。 Solution 感觉 $n$ 很大，$x,y$ 很小，总感觉就是状
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摘要：题意 给你 $n$ 个数，每次询问给出一个 $w$，求有多少种选数的方式，使得每种数可以重复使用的情况下，使得加和在 $p$ 的剩余系下为 $w$。 Solution 首先考虑判断一个数 $v$ 是否可行，这样的话相当于要解决： $$ xv\equiv w\pmod p $$ 可以套路地转化成方程组
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摘要：Solution $\texttt{E}\color{red}{\texttt{ricQian}}$ 很有精神！$\color{white}{114514}$ 我们都要像他一样有精神！$\color{white}{114514}$ $\texttt{E}\color{red}{\texttt{ric
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摘要：题意 定义一个排列是好的，当且仅当对它冒泡排序时交换次数是下界： $$ \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n|p_i-i| $$ 给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，求在所有的长度为 $n$ 的排列中有多少字典序大于 $p$ 的好的排列。 Solution 这是上课 $\texttt
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摘要：前置芝士 同余概念，逆元，费马小定理，Exgcd，欧拉函数及定理。 （扩展）中国剩余定理 个人喜欢使用非公式形式的合并方式来求解同余方程组。 我们需要求解的问题是求合法的解 $x$，使之满足： $$\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {p_1}\ x\equiv a_2\p
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摘要：题意 求长度为 $n$ 的元素是不超过 $m$ 的正整数的序列，其和是 $p$ 的倍数并且元素中有至少一个质数的方案数。 Solution 暴力 OGF 好题！ 考虑 $p$ 比较小，容易想到在模 $p$ 的剩余系下做。然后看到至少一个质数，容易想到正难则反。那问题转化成给定一个集合，然后求集合中元
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摘要：可能不严谨，但是能看懂，并且可以用~ 概论 你从小就被 $\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}$ 在生物课上教育生成函数，但是那个时候的你，连生成函数是什么都不知道。 后来，你在学考前粗粗地看了看，发现完全没法看懂。 最后，听 $\texttt{M}\color{r
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摘要：Link Solution \(\color{red}{Hint:}\) 考虑用 Lucas 定理。 好，\(n\choose m\) 是 \(k\) 的倍数相当于 \({n\choose m}\%k=0\)。 Lucas 定理得： \({\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\choo
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摘要：前言 时隔一年，学了点多项式基础，然后来搞搞数论。学一下颓柿子。 数论分块 是用莫反解决问题的基础。 形式：如果有式子 $\sum\limits_{i=1}^ng(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)$ 需要求值，我们能在 $O(\sqrt{n})$ 的复杂度内求出上面这个式子的值
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摘要：前言 该来的还是来了，终于来啃这个东西了。以下是我对于多项式比较粗浅的理解。 多项式 我们称 $F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x$ 为一个 $n$ 次多项式。 多项式系数和系数表示法 多项式的系数就是数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$，
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摘要：前言 学校模拟赛的时候差点板题切不掉，痛改前非，决定来好好学一下线性基。 关于真正的线性基 你当我是数竞的吗？还线性基，就我这个勉强搞懂并且不能完全理解线性代数的垃圾怎么可能会线性基啊啊啊你看像这种大佬才有可能会线性基把又不是人人都像你一样天天AKIOI闲着没事捧着本算导搁着天天AK模拟赛没事情干然
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摘要：传送门 题目大意 卖足球赛的票，票价是 10元/张，你手中有 \(k\) 张 10 元钱，并且知道有 \(n\) 个人来买票时会带 10 元，\(m\) 个人会带 20 元钱。你可以顺利卖票，即每次都能找得出钱的概率是多少。 Solution 首先分析顺利卖票，由于票价是 10 元，所以带 10 元
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