20241020模拟赛学长讲话

Oct 20 唠嗑环节

关于今天模拟赛我有点事想和大家闲扯一下，我不在线下，就在线上跟你们聊一聊

没有找到很多 CNOI-styled tasks 导致这场的 A B C 风格很诡异，原版模拟赛有稍微偏 CNOI 一点的 B 和 C，但是很难，就换掉了

\(n^3\) 冲了 D 题 \(25\) 分有点混乱邪恶，不过不加强数据范围感觉不好卡否则容易杀掉带 set 的 \(n^2\log\)，而且和 \(n^2\) 没啥本质差别，就这样吧

比赛难度我想对标 CSP-S 2024 让大家体验一下 CCF 的 sb，但是好像这场 A 和 B 比 CSP-S 2024 要难一些

B 和 C 的通过人数比较多，所以我把原题放出来：

Petrozavodsk Winter 2020. Day 3. 300iq Contest 3 F - Farm of Monsters

CodeForces 1854 B - Earn or Unlock

在下面讨论一下一些题的做法，并且聊一聊我最新的关于算法理论的一些想法

如果想不明白下面对某题的描述的话不要硬想，会扰乱思维，可以攒一段时间后再看，这时候就明白题解中的一些注意到和不难发现不是凭空想象出来的，背后有成体系的的解题逻辑来作为支架

叠加：下面关于算法理论的结论只是我做题时使用的工具，只在部分情况下有效，均没有经过严格论证，不保证不虚假

关于像 A 一样的操作题，充要条件是针对整个解集通用的，所以假如执行某个操作后，序列的一些性质不会改变，则该性质可能成为充要条件的一部分

所以我之前天天给你们说操作题找不变量可能有奇效，这是思维技巧背后的原理

本题中操作是可乱序的，可以先执行所有操作 1 后执行所有操作 2

操作 2 保证了操作先后序列所有元素\(\bmod r\) 不变，所以一个合法序列必然经过若干次操作 1 后所有元素变为 \(r\) 的倍数

这时候可以直接去观察合法序列的这些操作 1 长啥样，就导出本题的做法

B 题假如有一个神人告诉你最优方案中你拿到了 \(S_1\) 中的人头或 \(S_2\) 中的人头，该问题弱于原问题，对该问题进行思考有可能得出有助于解决原问题的性质

问题转化成了如何检查你能否拿到 \(S_1\) 集合中的人头，容易得出充要条件

分析该过程，进行反悔贪心求解最优的 \(S\) 即可，也可以 dp，dp 维护 dp 值函数斜率（slope trick）和反悔贪心代码完全相同

关于 D 题的做法分析是弱化归约问题的经典运用，下面我将论证该题的任何做法都显式 / 隐式地维护了极短的 \(\text{mex}\) 区间：

对于某区间 \([l,r]\)，令 \(b_i\) 为 \(\text{mex}=i\) 的区间的最短长度，此时 \(b\) 单调不降。

若任选 \(b_i\) 将其自增 \(1\)，则令 \(k\) 为原来的 \(b_i\)，此时答案变化，求出的不是最优解

所以对于所有 \([l,r]\) 都必须维护所有 \(b_i\) 的准确值，此时相当于维护了极短的 \(\text{mex}\) 区间，得证

此时就可以直接观察极短的 \(\text{mex}\) 区间有什么性质了

剩下的东西和 NOIP 2024 D 有异曲同工之妙，具体在于我们统计的区间只有两个指标而非普通三维偏序的三个，所以可以把区间看成二维平面上的点，二维偏序问题可以统计两条直线叉出的一个子平面中点的信息，该题中要统计的区域可以被划分成两个子平面的无交并，从而转化成二维偏序问题，得到解决

就说这么多吧，有疑问可以找我交流