基础分块
分块
分块是一种优雅的暴力，虽然一般只是\(O(n\sqrt{n})\)的复杂度，但由于常数较小，一些时候可以取得比一些\(O(n\log{n})\)的数据结构更优的成绩
分块的基本思想就是通过对原数据的适当划分，将大问题划分为多个小块上处理的问题，以此得到比其他暴力更优的复杂度
分块思想应用广泛，各种难度不同功效不同的分块都会在题目中出现。本文主要介绍块状数组这一分支
块状数组
块状数组的核心思想是把数组分为一定长度的小块，进行操作时，遇到完整的块就整体标记，对于不完整的散块则暴力处理，以此减小暴力复杂度
常见的操作包括：区间加、减；询问区间大于或小于某个数的数的个数；询问区间第k大数等
为了建立一个块状数组，需要维护以下信息：
\(len\) ：块长，通常设为\(\sqrt{n}\)，也可以根据题目要求调整
\(tot\) ：块的数量，需要考虑到不整除时最后有一块长度较短的块
\(belong\) ：数组，\(belong_{i}\)表示\(i\)号元素从属的块的编号
\(st\) ：数组，存储每个块的左端点
\(ed\) ：数组，存储每个块的右端点
\(t\) ：数组，原数组的副本，用于排序后存储每一块内的大小关系
\(n\) ：数的总量
\(a\) ：数组，原来的数列
对于一个块状数组，应有以下操作：
建块
确定块的大小、数量，记录每个块的左右端点，同时对每个块内的数据进行初始化
块的大小一般设为\(\sqrt{n}\)，理论依据是通过基本不等式推算。由于各个题目的数据范围和题目要求可能不同，所以可疑因题而异改变块长。一般通过以下代码实现：
len=(int)(sqrt(n));
块的个数显然就是总数除以块长，除不尽就多加一块：
tot=n/len;
if(n%len) tot++;
对于块的左右边界，容易得到\(st_{1}=1,ed_{1}=len,st_{2}=len+1,ed_{2}=2*len...\)
所以可以得到通项式\(st_{i}=len*(i-1)+1, ed_{i}=i*len\)，代码如下：
for(int i=1;i<=tot;i++){
st[i]=(i-1)*len+1;
ed[i]=min(i*len,n);
}
分配块时，可以容易地得到公式\(belong_{i}=\frac{i-1}{len}+1\)
for(int i=1;i<=n;i++){
belong[i]=(i-1)/len+1;
}
对于块内的初始化，因题而异。例如教主的魔法中初始化就是排序
区间操作
这里以区间加为例
考虑线段树思想，利用lazytag储存整块的操作。对于零块或者只修改部分整块的情况，暴力修改，这样每个数的真实值其实是\(a_{i}+tag_{i}\)。注意如果涉及排序，需要把数组备份一份，也就是前文提到的\(t\)数组。同时，需要特判\(belong_{l}==belong_{r}\)也就是只有一个点的情况，代码如下：
//区间加（含排序）
void modify(int l,int r,int k){
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内直接修改
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){a[i]+=k;}
Sort(fl);
return;
}
//暴力修改左右非整块的区间
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){a[i]+=k;}
Sort(fl);
for(int i=st[fr];i<=r;i++){a[i]+=k;}
Sort(fr);
//中间的整块打上标记
for(int i=fl+1;i<fr;i++) tg[i]+=k;
return;
}
区间减和区间加相同，只需要注意改换标记的种类
对于区间赋值，原理类似，但需要设置\(pushdown\)函数。对于\(tag\)数组，需要用一个特殊值标记没有获得修改的tag，对于零块需要在下一次操作之前pushdown下传标记，同时把标记信息下放，然后重新排序。代码：
void pushdown(int x) {
if (tag[x]!=2147483647) // 用该值标记块内没有被整体赋值
for(int i=st[x];i<=ed[x];i++) a[i]=t[i]=tag[x];
tag[x]=2147483647
}
void Modify(int l,int r,int k) {
int fl=belong[l],fr=belong[r];
pushdown(fl);
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=k;
Sort(fl);
return;
}
pushdown(fr);
for(int i=l;i<=ed[fl];i++)a[i]=k;
for(int i=st[fr];i<=r;i++) a[i]=k;
Sort(fl);Sort(fr);
for(int i=x+1;i<y;i++)tag[i]=k;
}
区间查询
对于查询区间内元素和，暴力加和即可，注意还要加上lazytag
对于区间内比k大/小的元素个数，分类处理：对于整块，排序后进行二分查找；对于边角零块，暴力枚举，代码：
//区间大于等于k的个数
int kth(int l,int r,int k){
int res=0;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内暴力查找
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
//先前对整块打上了tg标记，此时应该加上tg
if(a[i]+tg[fl]>=k) res++;
}
return res;
}
//暴力计算两侧边角块
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){if(a[i]+tg[fl]>=k) res++;}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){if(a[i]+tg[fr]>=k) res++;}
//二分查找整块部分
/*用lower_bound求出大于等于k的第一个数，块长减去这个数的位置得到块内答案，所有块累加。*/
for(int i=fl+1;i<=fr-1;i++){
res+=ed[i]-(lower_bound(t+st[i],t+ed[i]+1,k-tg[i])-t)+1;
}
return res;
}
//区间内小于等于k的值个数
int qnum(int l,int r,int k){
int res=0;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内暴力查找
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
//先前对整块打上了tg标记，此时应该加上tg
if(a[i]+tg[fl]<=k) res++;
}
return res;
}
//暴力计算两侧边角块
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){
if(a[i]+tg[fl]<=k) res++;
}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){
if(a[i]+tg[fr]<=k) res++;
}
//二分查找整块部分
for(int i=fl+1;i<fr;i++){
//整个块都比k大，跳过
if(t[st[i]]+tg[i]>k) continue;
if(t[ed[i]]+tg[i]<=k){
//整个块都比k小，直接累加
res+=ed[i]-st[i]+1;
continue;
}
//二分
int ll=st[i],rr=ed[i];
while(ll<rr){
int mid=((ll+rr)>>1)+1;
if(t[mid]+tg[i]<=k) ll=mid;
else rr=mid-1;
}
if(t[ll]+tg[i]<=k) res+=ll-st[i]+1;
}
return res;
}
对于区间第k大数，可以考虑二分答案，在此基础上利用求区间小于k的数的个数的技巧进行\(check\)，详见第二道例题
例题
洛谷P2801教主的魔法
裸的分块题，准许区间修改并维护区间内大于k的数的个数，亮点在于对于每一个块进行了排序，方便利用stl进行二分查找
代码
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000010
char op;
int n,m,x,y,k;
int a[N];
int len;//块长
int tot;//块数
int st[N];//所有块的起点
int ed[N];//所有块的终点
int tg[N];//区间操作标记
int t[N];//从属块
int belong[N];//某个元素所属的块
//排序
void Sort(int k){
for(int i=st[k];i<=ed[k];i++) t[i]=a[i];//更新t数组
sort(t+st[k],t+ed[k]+1);//排序
}
//初始化
void init(){
//计算块长和块的总数
len=(int)sqrt((double)(n));
tot=n/len;
if(n%len) tot++;
//为每个元素分配块
for(int i=1;i<=n;i++){
belong[i]=(i-1)/len+1;
}
//标记每个块的左右边界
for(int i=1;i<=tot;i++){
st[i]=(i-1)*len+1;
ed[i]=min(i*len,n);
Sort(i);
}
}
//区间加
void modify(int l,int r,int k){
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内直接修改
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){a[i]+=k;}
Sort(fl);
return;
}
//暴力修改左右非整块的区间
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){a[i]+=k;}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){a[i]+=k;}
//中间的整块打上标记
for(int i=fl+1;i<fr;i++) tg[i]+=k;
Sort(fl);Sort(fr);
return;
}
//区间大于等于k的个数
int kth(int l,int r,int k){
int res=0;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内暴力查找
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
//先前对整块打上了tg标记，此时应该加上tg
if(a[i]+tg[fl]>=k) res++;
}
return res;
}
//暴力计算两侧边角块
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){if(a[i]+tg[fl]>=k) res++;}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){if(a[i]+tg[fr]>=k) res++;}
//二分查找整块部分
/*用lower_bound求出大于等于k的第一个数，块长减去这个数的位置得到块内
答案，所有块累加。*/
for(int i=fl+1;i<=fr-1;i++){
res+=ed[i]-(lower_bound(t+st[i],t+ed[i]+1,k-tg[i])-t)+1;
}
return res;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
t[i]=a[i];//创建一份副本用来排序，映射原数组的大小关系
}
init();
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>op>>x>>y>>k;
if(op=='M') modify(x,y,k);
if(op=='A') cout<<kth(x,y,k)<<endl;
}
return 0;
}
洛谷P5386由乃打扑克
Ynoi难得的不太卡常不太毒瘤的题，维护两个操作，区间加按板子直接上就行；区间第k小值考虑在值域上二分答案，用查询区间内小于k的数的个数进行check。考虑到每个数的大小为\(-2\times{10}^{4}\leq2\times{10}^{4}\)同时区间操作次数达到了\(1\times{10}^{5}\)，值域大小会达到\(2\times{10}^{9}\)级别，所以考虑维护区间最大、最小值用来规定值域，削减二分次数。总复杂度\(O(n\sqrt{n}\log^{2}{V})\)可过。代码：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
#define inf 2e9+7
#define int long long
int n,m,op,x,y,k;
int a[N];
int len;//块长
int tot;//块数
int st[N];//所有块的起点
int ed[N];//所有块的终点
int tg[N];//区间操作标记
int t[N];//从属块
int belong[N];//某个元素所属的块
//排序
void Sort(int k){
for(int i=st[k];i<=ed[k];i++) t[i]=a[i];//更新t数组
sort(t+st[k],t+ed[k]+1);//排序
}
//初始化
void init(){
//计算块长和块的总数
len=(int)(sqrt(n));
tot=n/len;
if(n%len) tot++;
//为每个元素分配块
for(int i=1;i<=n;i++){
belong[i]=(i-1)/len+1;
}
//标记每个块的左右边界
for(int i=1;i<=tot;i++){
st[i]=(i-1)*len+1;
ed[i]=min(i*len,n);
sort(t+st[i],t+ed[i]+1);
}
return;
}
//区间加
void modify(int l,int r,int k){
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内直接修改
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){a[i]+=k;}
Sort(fl);
return;
}
//暴力修改左右非整块的区间
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){a[i]+=k;}
Sort(fl);
for(int i=st[fr];i<=r;i++){a[i]+=k;}
Sort(fr);
//中间的整块打上标记
for(int i=fl+1;i<fr;i++) tg[i]+=k;
return;
}
//区间内小于等于k的值个数
int qnum(int l,int r,int k){
int res=0;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
//区间在整块内暴力查找
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
//先前对整块打上了tg标记，此时应该加上tg
if(a[i]+tg[fl]<=k) res++;
}
return res;
}
//暴力计算两侧边角块
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){
if(a[i]+tg[fl]<=k) res++;
}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){
if(a[i]+tg[fr]<=k) res++;
}
//二分查找整块部分
for(int i=fl+1;i<fr;i++){
//整个块都比k大，跳过
if(t[st[i]]+tg[i]>k) continue;
if(t[ed[i]]+tg[i]<=k){
//整个块都比k小，直接累加
res+=ed[i]-st[i]+1;
continue;
}
//二分
int ll=st[i],rr=ed[i];
while(ll<rr){
int mid=((ll+rr)>>1)+1;
if(t[mid]+tg[i]<=k) ll=mid;
else rr=mid-1;
}
if(t[ll]+tg[i]<=k) res+=ll-st[i]+1;
}
return res;
}
//寻找二分上下界
int qmx(int l,int r){
int res=-inf;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
res=max(res,a[i]+tg[fl]);
}
return res;
}
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){res=max(res,a[i]+tg[fl]);}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){res=max(res,a[i]+tg[fr]);}
for(int i=fl+1;i<fr;i++){
res=max(res,t[ed[i]]+tg[i]);
}
return res;
}
int qmn(int l,int r){
int res=inf;
int fl=belong[l],fr=belong[r];
if(fl==fr){
for(int i=l;i<=r;i++){
res=min(res,a[i]+tg[fl]);
}
return res;
}
for(int i=l;i<=ed[fl];i++){res=min(res,a[i]+tg[fl]);}
for(int i=st[fr];i<=r;i++){res=min(res,a[i]+tg[fr]);}
for(int i=fl+1;i<fr;i++){
res=min(res,t[st[i]]+tg[i]);
}
return res;
}
//二分答案
void Find(int l,int r,int k){
if(k<1||k>r-l+1) cout<<-1<<'\n';
int ll=qmn(l,r);
int rr=qmx(l,r);
while(ll<=rr){
int mid=(ll+rr)>>1;
if(qnum(l,r,mid)<k){
ll=mid+1;
}else{
rr=mid-1;
}
}
cout<<ll<<'\n';
return;
}
signed main(){
freopen("由乃打扑克.txt","r",stdin);
freopen("YnPokeOut.txt","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
t[i]=a[i];
}
init();
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>op>>x>>y>>k;
if(op==1) Find(x,y,k);
if(op==2) modify(x,y,k);
}
return 0;
}
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