敲有意思的导数题

题目：

\(f(x)=\ln x-ax^2+\frac{1}{a}x(a>0)\) 极值点 \(x_0\in(0,\sqrt{3})\) 且 \(f(x_0)>0\)，求 \(a\) 取值范围。

解题：

\(f'(x)=\frac{1}{x}-2ax+\frac{1}{a}\)

\(因为是极值点，所以f'(x_0)=\frac{1}{x_0}-2ax_0+\frac{1}{a}=0\) 并且两边符号相反（只需 \(\Delta=1+8a^3>0\) 显然成立 ）。

上式等价于 \(a-2a^2x_0^2+x_0=0\)

注意到 \(x_0,a\) 有关系并且有 \(x_0\) 的取值范围，可以解出 \(a\) 的范围。

即 \(a=\frac{1+\sqrt{1+8x_0^3}}{4x_0^2}\) (舍了个负的)

右边关于 \(x_0\) 导了之后 化简 ，只需判断 \(x_0-4-32x_0^3\) 正负，易知小于零，即递减。

疑似显然 \(x_0\rightarrow 0^+ \ a\rightarrow +\infty\)

且 \(x_0=\sqrt{3}\) 时 \(a=\frac{1+\sqrt{1+8e^{\frac{3}{2}}}}{4e}\)

所以 \(a\in (\frac{1+\sqrt{1+8e^{\frac{3}{2}}}}{4e},+\infty)\)

还要保证 \(f(x_0)>0\)

现在有 \(f(x_0)=\ln x_0-ax_0^2+\frac{1}{a}x_0\)，\(1-2ax_0^2+\frac{1}{a}x=0\)

带入 \(\frac{1}{a}x\) 更好，得到 \(f(x_0)=\ln x_0 +ax_0^2-1>0\)

只需要 \(a>\frac{1-\ln x_0}{x_0^2}\)

\(g(x)=\frac{1-\ln x_0}{x_0^2}\ ,x\in(0,\sqrt{3})\)

导两次发现递减。\(g(x_0)>g(\sqrt{3})=\frac{1}{2e}>0\)

成立。所以答案是 \(a\in (\frac{1+\sqrt{1+8e^{\frac{3}{2}}}}{4e},+\infty)\)