[POI 2021/2022 R1] Domino 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

一个 \(2\times n\) 的矩形，上面有若干个格子被占用了。你要用 \(1\times 2\) 或 \(2\times 1\) 的牌，覆盖所有未被占用的格子，一个格子不可被占用两次。记方案数为 \(m\)。

给你 \(m\)，求最小的 \(n\)，使得存在一种方案设置被占用的格子，使得覆盖的方案数恰好为 \(m\)，或报告无解。

\(1\leq m\leq10^{18}\)。

题目分析

妙妙题。

读懂题目后，可以尝试暴搜确定每一个格子的占用情况。考虑计算方案数。不难想到从左到右一列一列地决策，设 \(f_{i,0/1/2}\) 表示，考虑到第 \(i\) 列，前 \(i-1\) 列均非空，对于第 \(i\) 列的两行，均非空 / 上面非空 / 下面非空，非空指被占用，或者被覆盖。

1. 第 \(i\) 列均未被占用。
   \(f_{i,0}\gets f_{i-1,0}\)：在第 \(i\) 列放置了 \(2\times 1\) 的矩形。
   \(f_{i,1}\gets f_{i-1,2},f_{i,2}\gets f_{i-1,1}\)：在第 \(i-1,i\) 列放置了一个 \(1\times 2\) 的矩形。
   若第 \(i-1\) 列也均未被占用，\(f_{i,0}\gets f_{i,0}+f_{i-2,0}\)，即放置两个 \(1\times 2\) 的矩形。
2. 第 \(i\) 列上面被占用。（下面类似。）
   \(f_{i,0}\gets f_{i-1,1}\)：第 \(i-1,i\) 列下层放置了一个 \(1\times2\) 的矩形。第 \(i\) 列下层被覆盖，上层被占用。
   \(f_{i,1}\gets f_{i-1,0}\)：不放置矩形。
   \(f_{i,2}\gets 0\)：显然不合法。
3. 第 \(i\) 列均被占用。
   \(f_{i,0}\gets f_{i-1,0}\)，\(f_{i,1/2}\gets 0\)，进行不了操作。

以上 DP 能够做到不重不漏地统计方案。

打表后惊奇地发现，在 \(n\) 最小的前提下，对于每一种覆盖方案数为 \(m\) 的占用方案（\(m\neq0\)），占用的格子总是为若干个 \(2\times1\) 的矩形，不妨称作隔板，将 \(2\times n\) 的矩形划分成了若干个宽度大于等于一的矩形，这些被划分出来的小矩形内部格子均未被占用。

显然占用的格子数必然是偶数。假设在 \(n\) 最小的前提下，存在一种占用情况，占用的格子不满足结论。

有若干被占用的格子构成了若干隔板，剩下占用的格子至少有两个，取出其中前两个 \(C_a,C_b\)，分别在第 \(i,j\) 列，讨论他们之间的位置关系。

1. 他们之间被某个隔板隔开了。
   隔板的左边，由于一个单独的 \(C_a\) 的存在，不存在合法的覆盖方案，方案数为 \(0\)，与方案数为 \(m\neq 0\) 矛盾。

2. 他们在同一行。不妨设他们在上面一行。
   左边 \(2\times(i-1)\) 的矩形的所有合法覆盖方案，均不会溢出来占用第 \(i\) 列的第二行。

   为了填上第 \(i\) 列的第二行的空位，肯定会放置一个 \(2\times 1\) 的矩形。那么又将第 \(i+1\) 列第一行空了出来，又要用 \(2\times1\) 的矩形填上。如此，直到碰到 \(C_b\)。

   若 \(j-i\) 为偶数，最终会导致第 \(j-1\) 列第一行单独空出，不能被覆盖，方案数为 \(0\)，与方案数非零矛盾；否则，\(i\sim j\) 的覆盖方式存在且唯一。倘若我们将第 \(i\sim j\) 列换成一个隔板，方案数没有发生变化，而列数至少从 \(2\) 变为了 \(1\)，与 \(n\) 最小矛盾。

3. 他们不在同一行。
   类似上面的讨论。导出要么方案数为 \(0\) 矛盾，要么与 \(n\) 最小矛盾。

故结论成立。

每一个被隔开的矩形相互独立，遵循乘法原理。对于一个 \(2\times n\) 的全空矩形，分析前文的 DP，此时只有 \(f_{i,0}\) 有意义，不难得出覆盖方案数为 \(F_n\)，其中 \(\{F_n\}\) 为斐波那契数列 \(F_0=1,F_1=1,F_2=2,\ldots\)。

那么问题变为了求满足 \(\prod_{i=1}^t F_{x_i}=m\) 最小的 \(n=t-1+\sum_{i=1}^t x_i\)。由于 \(F_{87}>10^{18}\)，故 \(x_i\leq86\)。显然 \(x_i\ge2\)，否则由于 \(F_{x_i}=1\)，去掉不改变方案数，而可以让 \(n\) 更小。

本地用 \(88.37\) 秒暴搜发现，\(10^{18}\) 以内可以被 \(F_n\) 的乘积表示出来的 \(m\) 只有 \(36338470\) 种，拆分方案数最多只有 \(70\) 种，在 \(m\in\{519400496868360192,584325558976905216\}\) 取到。这提示我们某些看起来不太正确的算法，可能实际上是正确的。

可以直接暴搜拆分方案。但是直接暴搜是错误的，参考 link 和 link。所以需要最优性剪枝，或者记忆化。

代码

#include <cstdio>

using ll = long long;

const int M = 87, inf = 2e9;

ll a[M], m;
int ans = inf;

void dfs(ll x, int c, int la) {
    if (x == 1) {
        if (c - 1 < ans) ans = c - 1;
        return;
    }
    if (c + 2 >= ans) return;
    for (int i = la; i >= 2; --i)
        if (x % a[i] == 0)
            dfs(x / a[i], c + i + 1, i);
}

signed main() {
    a[0] = 1, a[1] = 1;
    for (int i = 2; i < M; ++i) a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
    scanf("%lld", &m);
    if (m == 1) return puts("1"), 0;
    dfs(m, 0, M - 1);
    if (ans == inf) puts("NIE");
    else printf("%d", ans);
    return 0;
}