[POI 2021/2022 R2] age 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

\(n\) 个结点的树，有 \(k\) 个人，初始在不同的结点。安排一种行走方式，使得所有结点均被到达过，并且不会有一个结点被不同的两个人经过（同一个结点可以被同一个人经过多次）。你需要最小化所有人行走的距离和。

\(1\leq k\leq n\leq5\times10^5\)。

题目分析

显然是树形 DP，对 \(u\) 被哪个人经过分类讨论，结合做题经验，不难得到状态 \(f_{u,0/1,0/1}\) 表示 \(u\) 子树，未来子树外一个人走到 \(u\)，还是 \(u\) 已经被其子树里某个人经过，操作完 \(u\) 子树后要不要走回 \(u\)，的答案。答案即为根的 \(f_{u,1,0}\)。

考虑一个一个合并儿子子树的过程。

DP 初始值对 \(u\) 是否初始有人讨论。若有人，除 \(f_{u,1,0/1}=0\) 外均为 \(\infty\)，否则除 \(f_{u,0,0/1}=0\) 外均为 \(\infty\)。

合并进 \(v\) 的子树，考虑 \((u,v)\) 这条边被经过的情况。

1. \(f_{u,1,1}'\)：
   1. \(v\) 子树已经合法：\(f_{u,1,1}+f_{v,1,0}\)；
   2. \(v\) 走出一个人，走到 \(u\) 的子树里，再回到 \(u\)：\(f_{v,1,1}+1+f_{u,0,1}\)；
   3. \(u\) 走出一个人，走到 \(v\) 的子树里，回到 \(v\)，再回到 \(u\)：\(f_{u,1,1}+f_{v,0,1}+2\)；
2. \(f_{u,1,0}'\)：
   1. \(v\) 子树已经合法：\(f_{u,1,0}+f_{v,1,0}\)；
   2. \(v\) 走出一个人，走到 \(u\) 的子树里：\(f_{v,1,1}+1+f_{u,0,0}\)，相反有 \(f_{u,1,1}+1+f_{v,0,0}\)；
   3. 本来有一条经过 \(v\) 的路径，现在略微修改，当人走到 \(v\) 的时候，先走到 \(u\)，走进 \(u\) 的子树再回到 \(u\)，走到 \(v\)，继续 \(v\) 本来的路径：\(f_{v,1,0}+f_{u,0,1}+2\)，相反有 \(f_{u,1,0}+f_{v,0,1}+2\)；
3. \(f_{u,0,1}'\)：
   1. \(v\) 子树已经合法：\(f_{u,0,1}+f_{v,1,0}\)；
   2. 未来这条路径先通过 \((u,v)\) 走到 \(v\) 的子树中，再走回来，通过 \((v,u)\) 走到 \(u\) 的子树中，再回到 \(u\)：\(f_{u,0,1}+f_{v,0,1}+2\)；
4. \(f_{u,0,0}'\)：
   1. \(v\) 子树已经合法：\(f_{u,0,0}+f_{v,1,0}\)；
   2. 未来路径先走到 \(v\) 子树中，再回来，再往 \(u\) 子树中走：\(f_{u,0,0}+f_{v,0,1}+2\)，相反有 \(f_{v,0,0}+f_{u,0,1}+1\)，这里不再是 \(+2\) 了，因为 \((u,v)\) 只被经过了一次；

问题解决了，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>

using ll = long long;

const int N = 5e5 + 10;

int n, k;
std::vector<int> e[N];
bool mark[N];

const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

ll f[N][2][2];

inline void O(ll &a, ll b) {
	a = b < a ? b : a;
}

void dfs(int u, int fa) {
	memset(f[u], 0x3f, sizeof(f[u]));
	if (mark[u]) {
		f[u][1][0] = 0;
		f[u][1][1] = 0;
	} else {
		f[u][0][0] = 0;
		f[u][0][1] = 0;
	}
	for (int v : e[u])
		if (v != fa) {
			dfs(v, u);
			ll t[2][2];
			memset(t, 0x3f, sizeof(t));
			
			O(t[1][1], f[u][1][1] + f[v][1][0]);
			O(t[1][1], f[u][0][1] + f[v][1][1] + 1);
			O(t[1][1], f[u][1][1] + f[v][0][1] + 2);
			
			O(t[1][0], f[u][1][0] + f[v][1][0]);
			O(t[1][0], f[u][0][0] + f[v][1][1] + 1);
			O(t[1][0], f[u][1][1] + f[v][0][0] + 1);
			O(t[1][0], f[u][0][1] + f[v][1][0] + 2);
			O(t[1][0], f[u][1][0] + f[v][0][1] + 2);
			
			O(t[0][1], f[u][0][1] + f[v][1][0]);
			O(t[0][1], f[u][0][1] + f[v][0][1] + 2);
			
			O(t[0][0], f[u][0][0] + f[v][1][0]);
			O(t[0][0], f[u][0][0] + f[v][0][1] + 2);
			O(t[0][0], f[u][0][1] + f[v][0][0] + 1);
			
			memcpy(f[u], t, sizeof(t));
		}
}

signed main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1, u; i <= k; ++i) {
		scanf("%d", &u);
		mark[u] = true;
	}
	for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		e[u].emplace_back(v);
		e[v].emplace_back(u);
	}
	dfs(1, 0);
	printf("%lld", f[1][1][0]);
	return 0;
}