莫队学习笔记
基础的莫队比较简单就略过了。
好吧还是说一下。
普通莫队
莫队其实是个暴力算法。
- 情景
假设你现在需要处理一个问题，它给出了一个长度为 \(n\) 的序列，并给出了 \(m\) 组区间询问。
这样的一个问题是不难的，但是你发现了一个令人非常窒息的事情：询问的贡献非常难算。
好在，绝望中仍有一线生机，这个题目的贡献有一个非常有趣的性质：
如果我们令询问区间为 \([l,r]\) 时的答案为 \(f(l,r)\)，那么你可以通过一些计算得到 \(f(l\pm 1,r)\) 和 \(f(l,r\pm 1)\)。
（下面我们把这称之为一次移动，两种方式分别对应左移和右移。）
- 思路
现在，莫队出场了。
如果我们暴力去做这个问题，有个非常显然的思路是直接进行 \(\mathcal{O}(n)\) 次计算，从上一次询问的 \(f(l,r)\) 一路推到现在询问的 \(f(l',r')\)，这样总的移动次数是 \(\mathcal{O}(nm)\) 的。
注意到这里的移动有可能被极限数据卡到每次都要从头到尾跑一遍，也可能被极限数据直接压缩成 \(\mathcal{O}(n)\) 次。
这启发我们，是否存在这样一种方式，我们可以通过合适地排列询问来降低时间复杂度？
事实上，的确是可以的。
我们先将所有询问按照 \(l\) 从小到大排序，这样我们处理所有询问的左移总次数就是 \(\mathcal{O}(n)\) 的。
此时我们的 \(r\) 是杂乱无序的，我们同样想使其有序，但这样会反过来让 \(l\) 完全无序。
既然如此，我们折中一下，把所有询问分组，一组内的询问按照 \(r\) 排序，这时候组内的 \(l\) 是杂乱无序的，但由于此前已经进行过排序，\(l\) 在不同的组直接存在非严格的偏序关系。
准确来说，此时第 \(i\) 组内的所有询问的 \(l\) 都是小于等于 \(i+1\) 组内的询问的 \(l\) 的。
这样的话，我们让一组内的 \(l\) 的极差恰为 \(\sqrt{n}\)，一共就只有 \(\dfrac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\) 个组。
对于组内的询问，右移的总次数是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，把每个组的算到一起，右移的总次数也就是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\) 的。
而对于左移而言就更简单了，由于两个相邻的询问要么在同一组，要么不在同一组，两种情况左移的次数均为 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 级别的，所以总的左移次数也就是 \(\mathcal{O}(m\sqrt{n})\) 的。
于是莫队的总移动次数就是 \(\mathcal{O}((n+m)\sqrt{n})\)。
注意到这里由于单次移动的复杂度不一定是 \(\mathcal{O}(1)\)，所以没有直接说明莫队的时间复杂度。
- 奇偶性优化
这个优化非常简单：两个相邻的组的 \(r\) 的排序方式相反即可，即前一个组从小到大排序，后一个组就从大到小排序。
优化的原理也非常简单，前一个组右移结束后目前已知的 \(f(l,r)\) 的 \(r\) 肯定是前一个组中最大的，我从最大的重新开始处理，\(r\) 就不用再跳回到最小值去了，这样可以节约一个 \(2\) 的常数，非常给力。
至于莫队的其它小优化，都没有这个给力就不提了。
- 例题
由于普通莫队不是重点，例题也就不多说了。
高维莫队
拿来打暴力的，实际应用非常之少，没什么可说的。
有兴趣可以看这篇文章。
回滚莫队
非常有趣的一个莫队变体。
- 情景
还是考虑前面给的模型，这次我们的神秘条件变了：
如果我们令询问区间为 \([l,r]\) 时的答案为 \(f(l,r)\)，那么你可以通过一些计算得到 \(f(l-1,r)\) 和 \(f(l,r+1)\)。
哎，这下只能往已知的区间内添加元素而不能删去了，这怎么办呢？
- 思路
不慌，回滚莫队正是来解决这个问题的。
其思路也非常简单粗暴：你不是不能删除么？那我只需要把所有可能的结果全部存下来不就好了。
具体来说，设当前组的 \(l\) 的取值范围为 \([x,y]\)，我们直接暴力处理所有 \([p,y],p\in[x,y]\) 的答案，然后再和 \([y+1,r]\) 的答案拼起来就好了。
这里要注意一个细节：如果 \(r\le y\)，我们应该直接暴力求解这组询问。
然后就没了……回滚莫队就这么简单……吗？
注意到一个非常有趣的事情，上面这个需要区间可加性，但是显然神秘条件不能推出区间可加性，没有区间可加性就直接废了。
（话说有区间可加性不应该直接用线段树了吗……）
这时候我们可以换个方式实现。
对于 \(r\le y\) 的询问，我们还是考虑暴力解决，剩下只考虑 \(r\gt y\) 的情况。
我们可以从 \(f(y,r)\) 开始一步一步推到 \(f(l,r)\)，移动次数显然是 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 级别的。
然后我们再通过撤销操作，从 \(f(l,r)\) 倒带到 \(f(y,r)\)，然后再继续处理后续的询问。
这非常好对吧？但是如果操作不可撤销或撤销复杂度过大也就废了。
所以回滚莫队并不一定能够代替普通莫队，两者都各有所长却各有所缺。
- 优化
显然你还是可以进行奇偶性优化。
由于回滚莫队的常数很大，强烈建议使用奇偶性优化。
- 例题
由于我比较懒就贴一个之前的题解啦。
二次离线莫队
LXL 开发的神秘算法。
- 情景
考虑一个普通莫队，单次移动的复杂度不是 \(\mathcal{O}(1)\) 了，有没有办法使其复杂度保持为根号？
- 思路
有些时候，我们确实能够实现这件事。
考虑莫队每次移动的时候，实际上也是在询问一个东西，这个询问有时候可以拿各种数据结构维护不是么？
那么众所周知，很多时候离线可以诞生许多神奇算法，这就是二次离线的含义。
二次离线莫队的本质就是把莫队的移动的询问存下来，用一个离线算法求解出所有的询问。
- 例题
结合例题讲解最实在了。
LG5047 Ynoi2019 Yuno loves sqrt technology II
题意：给出长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和 \(m\) 组询问，每次询问一个区间内的逆序对数量。
考虑莫队，从 \(f(l,r)\) 进行移动的过程是怎样的呢？
考虑 \(f(l,r+1)\)，显然 \(f(l,r)\) 对应的逆序对仍然存在，我们只需要计算 \(a_{r+1}\) 带来的新的贡献即可，也即查询 \(a_{r+1}\) 和 \([l,r]\) 中的多少数能组成逆序对。
由于 \(a_{r+1}\) 在 \([l,r]\) 的右边，这个询问就是在查询 \([l,r]\) 中比 \(a_{r+1}\) 大的数的数量。
这个只需要维护一个桶，然后用树状树组维护这个桶就可以了，应该比较简单就不赘述了。
对于其它的三种移动，都是同理的，也不再赘述，这样可以得到一个 \(\mathcal{O}((n+m)\sqrt{n}\log n)\) 的做法。
显然我们好心（毒瘤）的 LXL 是不会让这个复杂度过的，这已经不是常数问题了。
观察莫队移动时的询问，这个询问非常有趣。
我们设 \(A(l,r,x)\) 表示在区间 \([l,r]\) 中有多少大于 \(x\) 的数。
容易发现，\(A(l,r,x)=A(1,r,x)-A(1,l-1,x)\)，那么此时我们只需要把 \(x\) 的询问挂到 \(r\) 和 \(l-1\) 上，做一遍扫描线即可求出答案。
这里的意思是，我们扫描线扫描到 \(p\) 的时候，就把 \([1,p]\) 这个前缀的信息全部得到了，使用树状树组等数据结构，显然容易得到 \(A(1,p,x)\) 的信息（根据 \(A\) 的定义，这是好求的），这里 \(x\) 是任意值。
现在的问题是，我们应该要选用一个合适的数据结构维护答案，仔细分析，由于只做一次扫描线，进行修改的次数是 \(\mathcal{O}(n)\) 级别的，而询问数量和莫队移动数同级，为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)（认为 \(n,m\) 同阶）。
不难发现询问数和修改数完全不对等，可以考虑使用 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 修改 \(\mathcal{O}(1)\) 查询的分块来平衡复杂度，这里这个分块是非常容易的。
简单说一下这个分块：
基本思路是每个值存一个桶，记录这个值有多少个。
块内进行一个前缀和可以查询块内的结果，块外同样进行一个前缀和可以查询块外的结果。
此时我们解决了右移的问题，至于左移是类似的，我们记录一个 \(B(l,r,x)\) 表示在区间 \([l,r]\) 中有多少小于 \(x\) 的数，处理方法是一样的。
于是我们在 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\) 的时间复杂度内求出了所有莫队移动所需的贡献，总的时间复杂度就是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)（认为 \(n,m\) 同阶）。
- 优化
注意到上面这题的空间限制非常夸张，如果我们暴力存储所有询问会直接挂掉。
莫队在移动的时候一定是一连串的移动，我们把一连串的移动拿一个东西记录下来，然后正式进行询问的时候再将其展开即可。
这时候有个问题，对于 \(A(1,l-1,x)\) 是好存的，我们只需要将移动的询问整个挂在 \(l-1\) 的位置即可。
但是对于 \(A(1,r,a_{r+1})\)，\(r\) 会随着移动发生变化，没办法把所有询问挂到一起。
这时候的处理方法比较多，一种很常见的处理方法是预处理 \(sum_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}A(1,j,a_{j+1})\)，这样直接差分即可获得一整个区间的 \(\sum A(1,r,a_{r+1})\)。
这样可以直接把空间优化到线性，大部分二次离线莫队的题都卡了空间。
另外二次离线莫队同样可以使用奇偶性优化，由于其优化的是移动次数，仍然能砍掉接近 \(2\) 的常数，所以写莫队要养成习惯写奇偶性优化。
- 注意
二次离线莫队显然是扩展性非常之高的算法，而且根据第二次离线的数据结构不同，难度也有较大差异，是非常灵活的一类题目，可以综合考察选手的数据结构能力。
这也使得它与前面几个莫队有着很大的不同，需要多加练习才能掌握。
大部分二次离线莫队的题都可以先考虑普通莫队，但是注意，离线算法能够解决一些无法在线解决的问题，这意味着有时候二次离线莫队能解决一些普通莫队难以解决的问题。
- 例题
我太太太太懒了，题解就去题解区看吧。
和上面那个几乎一样的板子题。
不建议考虑普通莫队。
推式子题，二离只是辅助。
真正的难点在于第二次离线的数据结构（和卡常）。
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