关于莫队算法的高维扩展

让我们直接引入一道例题。

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「AHOI2013」作业

题意

对长度为 \(N\) 的序列 \(A\) 提出 \(M\) 个询问，每次询问给出 \(l,r,a,b\)，输出 \(\sum\limits_{i=l}^{r}[a\le A_i\le b]\)。

\(N\leq 100000,M\leq 100000\)，读入的数字均为 \([1,10^5]\) 内的正整数。

（注：\([a\le A_i\le b]\) 表示当 \(a\le A_i\le b\) 满足时为 \(1\)，否则为 \(0\)。）

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做法

常见的网络题解都说用分块+莫队。

那也确实，我们对原序列的值域进行分块，这样就可以只维护 \(l,r\) 两维。

也就是说，对 \(l,r\) 进行排序，按照正常莫队的做法，不过将扩展换成一个在分块上的算法即可。

可是，我们要看的是另一种做法。

我们先来理解普通莫队：

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普通莫队

我们可以建系，将一个询问区间的两个参数认作横坐标与纵坐标（就像上面的那些奇怪的蓝点）。

此时很容易想到两个询问之间的转换即为 \(\mathcal{Θ}(dis\times times)\)，其中 \(dis\) 是指在坐标系上两点的曼哈顿距离，\(times\) 指单次扩展所需的时间复杂度。

为什么呢？

举个例子：

若我们已知一个区间 \([l,r]\) 的答案时，可以推出 \([l±1,r]\) 和 \([l,r±1]\) 的答案，

那么当我们要从 \([l_i,r_i]\) 推到 \([l_j,r_j]\) 的时候显然要经过 \(|l_i-l_j|+|r_i-r_j|\) 次推导。

\(|l_i-l_j|+|r_i-r_j|\) 正是曼哈顿距离的公式，不是么？

相信此时就不难理解了，我们因此得到两个莫队算法题目的特性：

• 每次对区间 \([l,r]\) 进行询问。

• 已知一个区间 \([l,r]\) 的答案时，可以推出 \([l±1,r]\) 和 \([l,r±1]\) 的答案。

对于此类题目，我们就可以选择使用莫队算法。

但……

上面这两个特性其实并不完全。

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莫队的高维扩展

有些时候，我们的询问不再是简单的区间 \([l,r]\) ……

有时候可能是对于一个函数的求解：\(f(t_1,t_2,\cdots,t_d)\)。

如果在已知 \(f(t_1,t_2,...,t_d)\) 的时候，我们可以推出 \(f(t_1±1,t_2,...,t_d),f(t_1,t_2±1,...,t_d),\cdots,f(t_1,t_2,...,t_d±1)\) 的答案……

那么，我们是不是可以使用 莫队的思想 进行求解呢？

对函数 \(f(t_1,t_2,\cdots,t_d)\) 建一个 \(d\) 维坐标系，此时我们同样需要将其排序使得曼哈顿距离之和尽可能小。

按照莫队的思想将其进行排序以优化复杂度。

没错，就是这样！

莫队算法成功被我们扩展到了 \(d\) 维的情况！

带修莫队也随之而出了：当 修改的时间复杂度和推导同级 的时候，将时间作为一个维度即可。

这时候我们再来算一下时间复杂度？

设分块的长度为 \(S\)。

显然前 \(d-1\) 维每次都只会推到最多 \(S\) 次，时间复杂度 \(\mathcal{O}(mS)\)。

对于最后一维，实际上在每一个块内最多移动 \(m\) 次，对应的时间复杂度也就是块数乘上 \(m\)。

也就是说最后的时间复杂度为 \(\mathcal{Θ}((d-1)mS+\dfrac{mn^d}{S^d})\)。

简单列一个方程，当 \(S=n^{\frac{d-1}{d}}\) 的时候时间复杂度取到 \(\mathcal{Θ}(dmn^{\frac{d-1}{d}})\)，几乎已经是最优解了。

那么到此我们就算解决了莫队的高维扩展问题。

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回到开始的例题，此时各位是否有一个另外的想法冒出来呢？

没错，接下来我们要说一个时间复杂度为 \(O(mn^{\frac{3}{4}})\) 的算法。

我们把 \(l,r,a,b\) 设成四个维度，显然我们可以进行 \(O(1)\) 的推导。

记录数组 \(cnt1[i]\) 表示 \(i\) 在 \([l,r]\) 中的出现次数，\(cnt2[i]\) 表示 \(i\) 是否在 \([l,r]\) 中出现。

显然在推导 \(l,r\) 的时候可以顺手 \(O(1)\) 修改 \(cnt1,cnt2\)。

在推导 \(a,b\) 的时候，实际上我们需要的两个答案即为 \([cnt1[a],cnt1[b]]\) 的区间和以及 \([cnt2[a],cnt2[b]]\) 的区间和。

区间和好说啊，大家肯定都知道怎么维护啦~

因此我们其实将原问题建模成了对于 \(cnt1,cnt2\) 的修改和查询区间和问题……？

总之，按照上述的思路，我们不难写出四维莫队的代码。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,M=100010,MX=100010;
struct query{
	int id,l,r,a,b;
}q[M];
int len;
inline bool cmp(query a,query b)
{
	if(a.l/len==b.l/len&&a.r/len==b.r/len&&a.a/len==b.a/len)return a.b<b.b;
	if(a.l/len==b.l/len&&a.r/len==b.r/len)return a.a<b.a;
	if(a.l/len==b.l/len)return a.r<b.r;
	return a.l<b.l;
}//分块放进排序里面...
int a[N],cnt1[MX],cnt2[MX],now1,now2;
int ans1[M],ans2[M];
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d%d",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].a,&q[i].b),q[i].id=i;
	len=pow(n,(double)3/4);
	sort(q+1,q+m+1,cmp);
	int L=1,R=0,A=1,B=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		/*
		区间转换？
		这里其实应该先变化AB				
		对于LR的变化就是板子
		（在变化的时候顺便要维护一下now）
        这里其实有一个问题：为什么一定要先维护AB呢？
        当然是留给读者思考咯^_^
		*/
		while(A>q[i].a)now1+=cnt1[--A],now2+=cnt2[A];
		while(B<q[i].b)now1+=cnt1[++B],now2+=cnt2[B];
		while(A<q[i].a)now2-=cnt2[A],now1-=cnt1[A++];
		while(B>q[i].b)now2-=cnt2[B],now1-=cnt1[B--];
		while(L>q[i].l)
		{
			if(!cnt1[a[--L]])
			{
				cnt2[a[L]]++;
				if(a[L]>=A&&a[L]<=B)now2++;
			}
			cnt1[a[L]]++;
			if(a[L]>=A&&a[L]<=B)now1++;
		}
		while(R<q[i].r)
		{
			if(!cnt1[a[++R]])
			{
				cnt2[a[R]]++;
				if(a[R]>=A&&a[R]<=B)now2++;
			}
			cnt1[a[R]]++;
			if(a[R]>=A&&a[R]<=B)now1++;
		}
		while(L<q[i].l)
		{
			if(a[L]>=A&&a[L]<=B)now1--;
			cnt1[a[L]]--;
			if(!cnt1[a[L]])
			{
				cnt2[a[L]]--;
				if(a[L]>=A&&a[L]<=B)now2--;
			}
			L++;
		}
		while(R>q[i].r)
		{
			if(a[R]>=A&&a[R]<=B)now1--;
			cnt1[a[R]]--;
			if(!cnt1[a[R]])
			{
				cnt2[a[R]]--;
				if(a[R]>=A&&a[R]<=B)now2--;
			}
			R--;
		}
		ans1[q[i].id]=now1;
		ans2[q[i].id]=now2;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d %d\n",ans1[i],ans2[i]);
	return 0;
}

这份代码在校内OJ拿到了 36pts 的高分！

我们简单分析一下：对于原题目的数据而言，时间复杂度约为 \(\mathcal{Θ}(4mn^{\frac{3}{4}})=\mathcal{Θ}(4\times 10^5\times 10^{\frac{15}{4}})\approx\mathcal{Θ}(4\times 10^5\times 6000)=\mathcal{Θ}(24\times 10^8)\)。

所以是被卡常了，悲。

不过令人感到欣慰的是，luogu给了3s时限能过（2.33s）。

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最后说一句，高维莫队非常慢，大部分时候只能拿部分分，但是一般来说，拿到的部分分是很足的。

以高维莫队作为正解的题目几乎没有，所以学了也就学了，不用去练的。