因式分解技巧 Simon's Favorite Factoring Trick

Simon's Favorite Factoring Trick (SFFT) 是一种常用于整数方程（特别是丢番图方程）中的巧妙因式分解技巧。它适用于形如 $$xy + xn + ym + mn = \text{constant}$$ 的表达式，其中 $$x, y$$ 是变量，$$m, n$$ 是整数常数。通过人为地添加调整项，使该表达式可以因式分解为两项的乘积：

\[xy + xn + ym + mn = (x + m)(y + n) \]

这个技巧的关键在于“补全”表达式，使得两边的式子可以方便地进行分组因式分解。例如，对于表达式 $$xy + x + y + 1$$，可以写成：

\[xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1) \]

即使原始表达式不能直接因式分解，通过加减适当的常数项使其具备因式结构，这就是“Simon喜欢的因式分解技巧”名字的由来。具体步骤通常包括：

1. 观察表达式，找到类似 $$xy + x + y$$ 这样的部分。
2. 添加并减去同一个常数，使得左边的表达式能被分组因式分解。
3. 进行因式分解，得到两个因子的乘积。
4. 用因子分解结果求解问题，例如通过枚举因子组合解决整数解的问题。

这个技巧在解决许多数论和数学竞赛中整数值问题非常有用，因为它将复杂的多项式方程转化为因子组合问题，便于枚举和进一步分析[1][2][4][5]。

举个简单例子：

若要求解等式

\[xy + x + y = 20 \]

先加上1：

\[xy + x + y + 1 = 21 \]

等价于

\[(x + 1)(y + 1) = 21 \]

接下来只需要枚举21的因子对（1和21，3和7等），从而求出整数对 $$(x,y)$$。

这种方法被广泛应用于奥林匹克数学和其他数学竞赛问题中，是解决某类整数解问题的常用技巧[1][3][4][5]。

关键点总结：

• SFFT是基于因式分解和“补全”技巧。
• 适用于形如 $$xy + xn + ym + mn$$ 的表达式。
• 通过“加减常数项”让左边能够分组因式分解。
• 技巧应用于结构类似的整数方程求解。
• 对数学竞赛中解题非常实用。

若需，我也可以提供具体的例题和详细演示过程。

[1] https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Simon's_Favorite_Factoring_Trick
[2] https://davidaltizio.web.illinois.edu/More Diophantine Equations Overview.pdf
[3] https://www.youtube.com/watch?v=0nN3H7w2LnI
[4] https://studymath.github.io/assets/docs/SFFT.pdf
[5] https://brilliant.org/wiki/diophantine-equations-solve-by-factoring/
[6] https://www.youtube.com/watch?v=v8MVGAZapKU
[7] https://artofproblemsolving.com/community/c2202h1091204
[8] https://www.youtube.com/watch?v=ftOecOPXDcw
[9] https://math.stackexchange.com/questions/2713827/simons-favorite-factoring-trick-problem