Living-Dream 系列笔记 第52期

本期题目均为 \(\texttt{II}\) 类树形 dp，即树上多重背包。

T1

令 \(dp_{i,j}\) 表示以 \(i\) 为根的子树保留 \(j\) 条边的最大边权。

答案即为 \(dp_{1,q}\)，因为不管 \(1\) 连着的边选 / 不选，答案都会上传到根。

当然如果你愿意，求一遍 \(\max\{dp_{i,q}\}\) 也行。

易得初始状态：事实上这题没有初始状态。

我们现在考虑 \(cur\) 及其邻接点的转移。

目前 \(cur\) 拥有两个子节点 \(nxt1,nxt2\)。

显然 \(cur\) 所选的边应为 \(nxt1\) 所选的边 \(+\ nxt2\) 所选的边 $+\ 2$，

其中 \(+\ 2\) 是因为有 \(cur \to nxt1,nxt2\) 的边。

容易看出，\(nxt1\) 所选的边越多，\(nxt2\) 所选的边就越少，

这说明兄弟节点间存在数量约束关系，鉴定为 \(\texttt{II}\) 类树形 dp。

这启发我们进行树上多重背包。

具体地，我们统计出 \(cur\) 子树内边的数量 \(siz\) 与 \(q\) 的较小值作为背包的容量（因为 \(siz\) 有可能大于 \(q\)）。

同时，我们将 \(nxt1,nxt2\) 分别看作两个物品，重量为 \(nxt1,nxt2\) 所选边数，价值为 \(nxt1,nxt2\) 所选边边权之和。

于是易得转移：

\[dp_{x,v}=\max(dp_{x,v},dp_{i,k}+dp_{x,v-k-1}+w) \]

（\(x\) 为 \(cur\)，\(v\) 为背包容量，\(i\) 为 \(nxt1/nxt2\)，\(k\) 为枚举的 \(i\) 的所选边数)

即（下图以 \(nxt1\) 为例）：

直接做即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e2+5;
int n,q;
int dp[N][N];
struct Edge{ int to,w; };
vector<Edge> G[N<<1];

int dfs(int x,int fa){
	int siz=0;
	for(auto i:G[x]){
		if(i.to==fa) continue;
		siz+=dfs(i.to,x)+1;
		for(int v=min(siz,q);v>=0;v--)
			for(int k=0;k<v;k++)
				dp[x][v]=max(dp[x][v],dp[x][v-k-1]+dp[i.to][k]+i.w);
	}
	return siz;
}

int main(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
		cin>>u>>v>>w,
		G[u].push_back({v,w}),
		G[v].push_back({u,w});
	dfs(1,-1);
	cout<<dp[1][q];
	return 0;
}

T2

本题与上题的区别：

边权转为点权，树转为森林。

对于前者，

初始状态令 \(dp_{i,1}=s_i\) 即可，

\(siz\) 改为统计子树内点数即可，

转移改为 \(dp_{x,v}=\max(dp_{x,v},dp_{i,k}+dp_{x,v-k})\)（即无需单独考虑）即可。

对于后者，我们设超级源点 \(0\) 将森林合并为树即可。

其余与上题完全一致，此处不再赘述。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=3e2+5;
int n,m;
int dp[N][N];
vector<int> G[N<<1];

int dfs(int x){
	int siz=1;
	for(int i:G[x]){
		siz+=dfs(i);
		for(int v=min(siz,m);v>=0;v--)
			for(int k=0;k<v;k++)
				dp[x][v]=max(dp[x][v],dp[x][v-k]+dp[i][k]);
	}
	return siz;
}

int main(){
	cin>>n>>m,m++;
	for(int i=1,u;i<=n;i++)
		cin>>u>>dp[i][1],
		G[u].push_back(i);
	dfs(0);
	cout<<dp[0][m];
	return 0;
}

T3

首先，我们将叶子节点的点权看作正，其余看作负，方便计算收益。

令 \(dp_{i,j}\) 表示以 \(i\) 为根的子树选取 \(j\) 个叶子节点的最大收益。

我们倒序枚举选取叶子节点的数量，若某一数量 \(i\) 满足 \(dp_{1,i} \ge 0\)，则答案即为 \(i\)。

对于初始状态，因为有负点权，所以先均赋 \(-\infty\)。

对于一叶子节点 \(i\)，显然有初始状态 $dp_{i,1}=\ $其点权。

对于其余中的一节点 \(i\)，也显然有 \(dp_{i,0}=0\)。

转移与上题如出一辙，只是需多加一个负点权即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=3e3+5;
int n,m,a[N];
int dp[N][N];
struct Edge{ int to,w; };
vector<Edge> G[N];

int dfs(int x){
	int siz=0;
	if(x>n-m){
		dp[x][1]=a[x]; return 1;
	}
	dp[x][0]=0;
	for(auto i:G[x]){
		int son=dfs(i.to); siz+=son;
		for(int v=siz;v>=0;v--)
			for(int k=1;k<=son;k++)
				dp[x][v]=max(dp[x][v],dp[i.to][k]+dp[x][v-k]-i.w);
	}
	return siz;
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	memset(dp,0xcf,sizeof(dp));
	for(int i=1,k,v,w;i<=n-m;i++){
		cin>>k;
		for(int j=1;j<=k;j++)
			cin>>v>>w,
			G[i].push_back({v,w});
	}
	for(int i=n-m+1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	dfs(1);
	for(int i=m;i>=1;i--)
		if(dp[1][i]>=0) cout<<i,exit(0);
	return 0;
}