Living-Dream 系列笔记 第3期

本期主要讲解二分查找。

知识点

二分查找：

• 思想：分治。

• 使用场景：在一个有序序列中，反复查找不同目标。

• 时间复杂度：\(O(n \log n)\)。

实现：

• 对数列排序；

• 确定二分边界（通常为 L=最小下标-1，R=最大下标+1）；

• 伪代码：

  int L=左边界-1,R=右边界+1;
  while(L+1<R){
     int mid=(L+R)>>1;
     if(目标在mid左侧) L=mid;
     else R=mid;
  }
  

• 最后根据 L 和 R 的位置进行特判（不必要）。

例题

T1

板子题。

若要找出第一次出现的编号，则在 a[mid]==x 时还需要向前寻找。

所以只需将伪代码改一下就行。

注意最后输出的编号应为 R，且需要特判 -1 的情况。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,a[10000031];

int bs(int x){
	int l=0,r=n+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	if(a[r]==x) return r; 
	return -1;
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	while(m--){
		int x; cin>>x; cout<<bs(x)<<' ';
	} 
	return 0;
} 

T2

对学校数组排序，遍历 \(n\) 位学生，找出和当前学生最接近的，比他的估分大 / 小的分数线，对两种不满意值取 \(\min\)，并加入答案，最后输出即可。

需要注意的是，因为我们的 L、R 的下标是无效的，所以若某学生的分数足够低，就可能出现 L 不动的情况，从而导致输出无效结果。因此我们应当将第 \(0\) 所学校的分数线设为 \(- \infty\)，从而避免此类情况。

Tips：开 long long。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int m,n,ans;
int a[100031],b[100031];

int bs1(int x){
	int l=0,r=m+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	return a[l];
}
int bs2(int x){
	int l=0,r=m+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	return a[r];
}


signed main(){
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
	a[0]=-1e9;
	sort(a+1,a+m+1);
	//cout<<bs(b[1]);
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=bs1(b[i]),y=bs2(b[i]);
		ans+=min(abs(x-b[i]),abs(y-b[i]));
	}
	cout<<ans;
	
	return 0;
}

习题

T3

对于每个满足 \(1 \le i \le n\) 的 \(a_i\)，二分查找 \(a\) 中第一个 \(\ge a_i+c\) 和 \(> a_i+c\) 的数，它们中间的就都是 \(a_i+c\)，将其累加入 \(ans\) 中，最后输出 \(ans\) 即可。

如果你愿意，使用 STL lower_bound / upper_bound 将会快捷许多。

不开 long long \(92 \ pts\)，警钟撅烂。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,c,ans;
int a[200031];

int bs1(int x){
	int l=0,r=n+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	if(a[r]==x) return r; 
	return -1;
}
int bs2(int x){
	int l=0,r=n+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	if(a[l]==x) return l; 
	return -1;
}

signed main(){
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(bs1(a[i]+c)!=-1&&bs2(a[i]+c)!=-1) 
            ans+=bs2(a[i]+c)-bs1(a[i]+c)+1;

    cout<<ans;
    return 0;
}

T4

和 T2 很像，只需要把那两个函数搬过来，在重写一下输入和输出即可。

我这里把两个函数合并到一块了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int m,n,ans;
int a[100031],b[100031];

int bs(int x){
	int l=0,r=n+1;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=a[mid]) r=mid;
		else l=mid;
	}
	if(abs(a[l]-x)<abs(a[r]-x)) return a[l];
    if(abs(a[l]-x)>abs(a[r]-x)) return a[r];
    if(abs(a[l]-x)==abs(a[r]-x)) return min(a[l],a[r]);
}

signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        sort(a+1,a+n+1);
        a[0]=-1e9;
        
        cin>>m;
	for(int i=1,x;i<=m;i++) cin>>x,cout<<bs(x)<<'\n';
	return 0;
}