学习网址

圆方树:

https://www.cnblogs.com/XuYueming/p/18313014

二项式反演：

https://www.cnblogs.com/GDOI2018/p/14491894.html

从容斥原理出发，通过一些变换便可以推导出二项式反演公式。

假设全集\(U=\{S_1,S_1,...,S_{n-1},S_n\}\)中任意\(i\)个元素的并集、交集的大小都相等。设\(g(x)\)是任意\(x\)个集合的交集，\(f(x)\)是任意\(x\)个集合的补集的交集。特别地，\(g(0)=|U|,f(0)=|U|\)。

那么，我们会有以下两条容斥式子：

\(|S_1\cap S_2\cap...\cap S_{n-1}\cap S_n|=|U|-|\overline{S_1}|-|\overline{S_2}|-...+(-1)^n\times |\overline{S_1}\cap \overline{S_2}\cap...\cap\overline{S_{n-1}}\cap \overline{S_n}|=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}f(i)\)

\(|\overline{S_1}\cap\overline{ S_2}\cap...\cap \overline{S_{n-1}}\cap \overline{S_n}|=|U|-|{S_1}|-|{S_2}|-...+(-1)^n\times |{S_1}\cap {S_2}\cap...\cap{S_{n-1}}\cap {S_n}|=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}g(i)\)

注意到

\[g(n)=|S_1\cap S_2\cap ...\cap S_{n-1}\cap S_n| \]

\[f(n)=|\overline{S_1}\cap\overline{ S_2}\cap...\cap \overline{S_{n-1}}\cap \overline{S_n}| \]

所以，我们就得到了优美的二项式反演：

\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}g(i) \]

做一个恒等变换，可以得到更加实用的形式：

\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}g(i) \]

基础形式：

常见形式：

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网络流：

https://www.cnblogs.com/rvalue/p/10650849.html

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莫比乌斯反演

https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html

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Latex:

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