莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

(PS:在评论区中众多dalao的催促下,我认真的写了三天三夜写完了这篇杜教筛,保证是精品!)

前言

(这大概是我第一次写学习笔记吧OvO)
可能每一个刚开始接触莫比乌斯反演的OIer,起初都会厌恶这个神奇的东西。(我也一样233)每一个人厌恶的原因有许多,可能是这个烦人的式子,也可能仅仅只是因为不理解\(\mu\)函数而感到不爽。当然,莫比乌斯反演有一个小小的预备知识:整除分块
那么我们先从莫比乌斯反演中最基础的莫比乌斯函数\(\mu\)开始说起:

莫比乌斯函数

  • 首先,我们可以先明确一点,莫比乌斯函数并不是什么很高大上的东西,它其实只是一个由容斥系数所构成的函数。\(\mu(d)\)的定义是:
  1. \(d=1\)时,\(\mu(d)=1\)
  2. \(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\)\(p_i\)为互异素数时,\(\mu(d)=(-1)^k\)。(说直白点,就是\(d\)分解质因数后,没有幂次大于平方的质因子,此时函数值根据分解的个数决定);
  3. 只要当\(d\)含有任何质因子的幂次大于等于2,则函数值为0.
  • 当然,莫比乌斯函数也有很多有趣的性质:
  1. 对于任意正整数\(n\)\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。(\([n=1]\)表示只有当\(n=1\)成立时,返回值为\(1\);否则,值为\(0\);(这个就是用\(\mu\)是容斥系数的性质可以证明)(PS:这一条性质是莫比乌斯反演中最常用的)
  2. 对于任意正整数\(n\)\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。(这个性质很奇妙,它把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来,或许我之后写杜教筛的学习笔记时会去证明吧)
  • 程序实现并不难,我们可以在线性筛素数的程序上略作修改,便可以筛出\(\mu\)函数。
  • 那我还是给一段线筛的代码吧
void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }
  • 那么,莫比乌斯函数就这么告一段落了。

莫比乌斯反演

  • 解决完莫比乌斯函数的问题后,我们便迎来了重头戏莫比乌斯反演
  • 定理:F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件:
    \[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
    那么存在一个结论:
    \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]
    这个定理就称作莫比乌斯反演定理
  • 莫比乌斯反演的证明主要有两种方式,其中一种就是通过定义来证明;另外一种,我则是会在杜教筛中提到(利用狄利克雷卷积)。那么我先来说一说第一种证明方法:
    \[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)\]
    \[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n)\]
    (PS:如果不知道最后一步怎么来的,可以再去看性质一,至于和式的变换,就自己脑补一下吧)
  • 当然,莫比乌斯反演有另外的一种形式,当\(F(n)\)\(f(n)\)满足:
    \[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]
    可以推出:
    \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]
  • 感觉这个式子,可能在莫比乌斯反演中更加好用。

那么,莫比乌斯反演的基本内容就说完了。知道了这些内容,就已经可以解决一些有关的问题了。我做了一些关于莫比乌斯反演的题,具体题解可以看看我博客中的内容。

题目

YY的gcd

[POI2007]ZAP-Queries

[SDOI2015]约数个数和

[HAOI2011]Problem b

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格

(未完,待更新)

posted @ 2018-03-26 19:53 pengym 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
IT发烧友,一个真正的技术交流群