SAy my name when a tree susurrates

SA学习笔记

非常难理解的算法（大概）。

定义两个数组：\(sa_i\) 表示的是第 \(i\) 小的后缀的下标为 \(sa_i\)，\(rk_i\) 表示的是后缀 \(i\) 的下标。

显然我们有 \(rk[sa[i]]=sa[rk[i]]=i\)。

暴力求 SA

显然的，直接排序就可以了。

复杂度 \(O(n^2 \log n)\)。

\(O(n \log ^2 n)\)

这里还是好理解的。考虑倍增，则我们单次排序相当于以 \(rk[i+w]\) 为第二关键字，\(rk[i]\) 为第一关键字进行排序，然后构建得到新的 \(rk\) 与 \(sa\)。

\(O(n \log n)\)

难理解的。旧的排序不善，考虑使用善的排序，考虑到值域为 \(O(字符集)\)，因此直接基数排序，显然是对的。

优化

上述做法的常数很大，考虑优化。具体的，以第二关键字进行的排序，我们直接优化掉，因为旧的 \(sa\) 已经是按照第二关键字完成排序的，所以直接把最后 \(w\) 个点丢到前面，剩下的按顺序加入就好了。

值域是可以动态更新的，然后如果值域已经到 \(n\) 了，代表我们比较完成了，直接结束循环。

感性理解SA

考虑这个的构建过程，相当于我们在不断的更新 \(sa\) 和 \(rk\)，每一次，都把 \(rk\) 和 \(sa\) 变成当前串长下的正确的值。然后尝试构建新的 \(sa\)，也就是根据下标的 \(rk\)，完成比较。

Code

for(int i=1;i<=n;i++)
	cnt[rk[i]=s[i]]++;
for(int i=1;i<=m;i++)
	cnt[i] += cnt[i-1];
for(int i=n;i>=1;i--)
	sa[cnt[rk[i]]--] = i;
memcpy(oldrk+1,rk+1,n*4);
int p = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
	if(oldrk[sa[i]] == oldrk[sa[i-1]])
		rk[sa[i]] = p;
	else
		rk[sa[i]] = ++p;
m = p;
for(int w=1;w<=n;w<<=1,m=p){
	int cur = 0;
	for(int i=n-w+1;i<=n;i++)
		id[++cur] = i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(sa[i] > w) id[++cur] = sa[i] - w;
	fill(cnt+1,cnt+1+m,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cnt[rk[id[i]]] ++ ;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cnt[i] += cnt[i-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)
		sa[cnt[rk[id[i]]] -- ] = id[i];

	p =0;
	memcpy(oldrk+1,rk+1,n*4);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(oldrk[sa[i]] == oldrk[sa[i-1]] && oldrk[sa[i] + w] == oldrk[sa[i-1] + w])
			rk[sa[i]] = p;
		else
			rk[sa[i]] = ++p;
}

应用

例题：P4051。复制一次串，显然是对的。
例题2：P2870。添加反向的串，别忘记加空字符，显然是对的。

Height数组

欢迎来到噩梦。

概念

定义：\(ht_i = |lcp(suf(sa_{i-1}),suf(sa_{i}))|\)。

结论1：如果 \(rk_i < rk_j < rk_k\)，则有 \(\min(|lcp(i,j)|,|lcp(j,k)|) \ge |lcp(i,k)|\)。
证明：考虑 \(rk\) 的定义，显然 \(i,j\) 的字典序更进，因此如果 \(i,j\) 必然会包含 \(i,k\) 的 \(lcp\)。

结论2：令 \(u=sa_i+1\)，我们有 \(ht(rk_u) \ge ht(rk_{u-1})-1\)。
证明：第一种， \(sa(rk_u-1)\) 恰好就是 \(u-1\) 所对应的 \(sa(rk_{u-1}-1)+1\)，则上面的式子显然成立，否则根据结论1，取到的值一定是大于这个不是相邻的 \(sa\)。

// from Alex_Wei，因为我自己还没有写过
for(int i=1,k=0;i<=n;i++){
	if(k) k -- ;
	while(s[i+k] == s[sa[rk[i]-1] + k])
		k ++ ;
	ht[rk[i]] = k;
}
ht[1] = 0;

应用

快速求两个后缀的 LCP

假设后缀为 \(i,j\)，则结果为 \(\min_{p=rk_i+1}^{rk_j} ht_p\)，这个的证明是显然的。

然后这种区间最值的状物，我们显然可以直接 ST 表预处理然后 \(O(1)\) 查询。

求本质不同的子串个数

\(n \cdot (n-1) / 2 - \sum ht\)。

考虑子串的本质为后缀的前缀，而本质不同的子串，我们只需要减去前面出现过的就可以了，因此是这个式子。

单调栈+height数组

这里不作展开，就是用单调栈维护height数组的贡献区间，例题：P4248。

多个串的最长公共子串

考虑直接把所有的串连成一个串，中间插入分割符，然后作双指针就可以了。例题：P2463。

并查集+SA

例题P2178，考虑 height 数组的定义，我们可以 height 数组从大到小，然后把 \(ht_i\) 当成从 \(sa_i\) 连向 \(sa_{i-1}\) 的边就好了。

结语

\(SA\) 是非常强大的算法，如果在考场上遇到了子串或者是 LCP 相关的问题，不妨想想这个。

后面应当会有专门的一篇文章，用来记录各种 SA 的题目。

另外，本文的内容有很大程度上是参考的 Alex_Wei 的内容，非常优质。