Once and again telling a story lost in time

P8239 树

精妙的 DP 题。

先考虑一点抛弃大脑的东西：\(ans = \sum_{S \cap T = \varnothing, S\cup T = [1,n]} f(S)\cdot g(T)\)。其中，\(f(S)\) 定义为在第一棵树中，不为叶子的节点的集合为 \(S\) 的方案数。\(g(T)\) 定义为在第二棵树中，不为叶子的节点的集合为 \(T\) 的方案数。

显然这个东西完全无法维护，套路的，我们定义 \(f'(S)=\sum_{S' \subseteq S} f(S')\)，因此有 \(f(S) = \sum_{S' \subseteq S} (-1)^{|S|-|S'|} f'(S')\)。

所以我们有：

\[\begin{aligned} ans &=\sum_{S \cap T = \varnothing, S\cup T = [1,n]} f(S)\cdot g(T)\\ &=\sum_{S \cap T=\varnothing,S\cup T=[1,n]} \sum_{S' \subseteq S} \sum_{T' \subseteq T} {(-1)}^{n-|S'|-|T'|} f'(S') g'(T')\\ &=\sum_{S' \cap T' = \varnothing} {(-1)}^{n-|S'|-|T'|} f'(S')g'(T')\cdot 2^{n-|S'|-|T'|}\\ &=\sum_{S' \cap T' = \varnothing} {(-2)}^{n-|S'|-|T'|} f'(S')g'(T') \end{aligned} \]

同时，我们不难得到的是：\(f'(S) = \sum_{i=2}^{n} |S\cap [1,i-1]|\)。对于 \(g'\) 和是同理的。

于是设计 dp 状态 \(dp[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 个节点，\(|S \cap [1,i]| = j\)，\(|T \cap [i+1,n]|=k\)，同时确定了 \((1,i]\) 在第一个树的父亲，\([1,i)\) 在第二个树的父亲的方案数。

考虑这个 dp 怎么转移。不妨分成三种：节点 \(i+1\) 最后属于了 \(S\)，最后属于了 \(T\)，什么都不属于。因此转移如下：

• \(f[i+1][j+1][k]+=f[i][j][k]\cdot j \cdot k\)
• \(f[i+1][j][k-1]+=f[i][j][k]\cdot j\cdot k\)
• \(f[i+1][j][k]-=2\times f[i][j][k]\cdot j \cdot k\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
#define LL long long
#define fi first
#define se second
#define ull unsigned long long
const int N = 505;
int n;
ull mod;
ull f[N][N],g[N][N];
void add(ull &a,ull b){
	a += b;
	if(a > mod) a -= mod;
}
int main(){
	IOS;
	cin >> n >> mod;
	for(int i=1;i<n;i++)
		f[1][i] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		ull ans = 0;
		for(int j=1;j<i;j++)
			ans = (ans + f[j][1] * j % mod) % mod;
		cout << ans << "\n";
		for(int j=1;j<i;j++){
			for(int k=1;k<=n-i+1;k++){
				ull base = f[j][k] * j % mod;
				add(g[j+1][k] , base * k % mod);
				add(g[j][k-1] , base * k % mod);
				add(g[j][k] , (mod - 2) * base % mod * k % mod);
			}
		}
		swap(f,g);
		memset(g,0,sizeof g);
	}
	return 0;
}