Ah, how I long to embrace

CF2196F。

艰难的构造过程。

问题转化

先考虑怎么判定合法性。假设我们选定了两个集合 \(A,B\)，我们是很难快速计算出度数和的。考虑怎么加速度数和的计算，发现题目只需要我们判断是否相等，因此不妨转化成大小关系，则两边同时 \(-1\) 显然并不会影响答案。那什么时候两个会同时 \(-1\) 呢？肯定是断了两个集合之间的边了。换个说法，也就是我们开始选定了点集，那么我们要进行断边分成两块，则断边是不影响集合的大小关系的。

也就是说，我们只需要判定在原图中的 \(deg\) 和是否相等就行了。而原图的 \(\sum deg=2m\)，因此图合法当且仅当不存在一种度数的选择使得 \(\sum deg = m\)。

发现依然没有突破口。不妨先考虑什么时候一定是合法的，注意到 \(n\) 个点的环（其中 \(n\) 为奇数）一定是合法的。观察样例1，我们发现在这个环上连边也有机会是合法的。

构造

考虑进行结论的猜测，我猜的是 \((1,3)(2,4)(3,5)\) 这样的连法，但是发现这样子连到 \(n=7\) 的时候就开始不合法了！不太好。考察 \(n=7\)，我们发现这样子连，只有到了度数变成了 \((3,3,3,3,3,3,4)\) 这样了，才开始又合法了。但是经过手玩，我们发现还有一种度数的方式是 \((3,3,3,3,3,3,2)\)。

于是换种猜测方式，考虑每一次选择度数最小的两个点进行连边，发现这样子的构造似乎很有道理。但是我们很容易发现这样子的建边并不容易，那么这是不是意味着我们的做法并没有正确性了呢？并不是的。不难发现在我们贪心的时候，节点的度数的差至多为 \(1\)，而且显然这个是正确的，那么我们的节点的度数最后应该是形如 \((q,q,q,q,q+1,q+1,q+1)\) 这样的。那么我们不妨假设 \(q,r\)，其中 \(r\) 表示的是 \(q+1\) 的节点的点的数量。不难发现的是，\(q,r\) 是同奇偶性的，证明显然。于是进行分讨。

q,r 同为偶数

考虑直接往后连，感觉不太行，于是考虑对称的连发，这样子就是往后连 \(q/2\) 条边，顺着连就行了。\(r\) 的解决方式也是同理的。

q,r 同为奇数

考虑按偶数的连，然后断边，具体的，我们可以直接断 \((1,2)(3,4)\) 这样的。然后也是可以构造的。

特殊情况

不难发现我们需要面对如果 \(n\) 为偶数然后 \(q\) 还刚好把我卡了怎么办？也就是 \(q\) 太大，导致我们不好构造了。

我们不得不对着 \(n\) 进行构造了。我曾尝试猜想过美丽图的反图也是美丽的。但是发现这个是假的，因为我们需要考虑点的度数变成了 \(n - deg\)，因此做差也就是 \(n \cdot (|A| - |B|) - \sum_{v \in A} deg_v + \sum_{v \in B} deg_v\)。有了 \(n\) 的干扰，使得不好解决了。

可是现在呢，我们发现 \(m > (n - 1) \cdot (n - 2) / 2\)。假设我们的 \(A\) 只取 \(n/2-1\) 个点，则我们发现这个是一定 \(<m\) 的，不善！也就是说，\(A,B\) 要均分 \(n\)。也就是说我们上面的猜想在这一刻成立了！因此直接对着反图做一次就行了。然后就能得到完美图了。

证明

这个我不太会。我们考虑把 \(n\) 卡到最小的奇数，满足 \(n \cdot (n-1) \ge m\)。则 \(2m = qn + r\)。

假设存在 \(A\) 满足 \(deg\) 的和为 \(m\)，设有 \(a\) 个点的度数为 \(q\)，\(b\) 个点的度数为 \(q+1\)。

假设 \(q > r\)，则有 \(aq + bq + b = m\)，也就是 \(q(2a+2b)+2b=qn+r\)。变形，有 \(q(2a+2b-n)=r-2b\)。因为左边要么是 \(0\)，要么是 \(q\) 的若干倍，因此只能是 \(0\)，而我们也就要求右边是 \(0\) 了。也就是 \(b = r / 2\)。因此 \(r\) 要是偶数，但是 \(r\) 是偶数右边的奇偶性是奇的，不成立。

假设 \(q<r\)。则有 \(q(n-2a-2b) = 2b-r\)。两边同时加上 \((n-2a-2b)\)，有 \((q+1)(n-2a-2b)=n-2a-r\)。考虑 \(n-2a-2b>1\)，也就是 \((q+1) \le (q+1)(n-2a-2b)\)。也就是 \(q+1 \le n - 2a - r\)。等价于 \(q + r \le n - 2a - 1\)。也就是 \(q+r < n\)。所以我们只要 \(q + r \ge n\) 就行了。而根据检验，除了小部分情况，都可以得到这样的 \(q,r\)。根据打表，发现在 \(m={0,1,2,4,6,12}\)。我们得不到这样的 \(q\) 和 \(r\)。而 \(12\) 的构造，出题人做了一回人给出了，所以可以直接用。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
#define LL long long
#define fi first
#define se second
int find(int n,int m){
	int res = n;
	if(res % 2 == 0) res ++ ;
	while(res * (res - 1) / 2 < m) res += 2;
	while(res >= 3 && (res - 2) * (res - 3) / 2 >= m) res -= 2;
	return res;
}
vector< pair<int,int> > Make(int n,int m){
	int q = 2 * m / n;
	int r = 2 * m - n * q;
	vector<pair<int,int> > res;
	if(q % 2 == 0){
		int dist = q / 2;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=dist;j++){
				int to = i + j;
				if(to > n) to -= n;
				res.push_back({min(to,i),max(to,i)});
			}
		}
		dist = q / 2 + 1;
		for(int i=1;i<=r/2;i++){
			int to = i + dist;
			if(to > n) to -= n;
			res.push_back({min(to,i),max(to,i)});
		}
	}
	else{
		int dist = (q + 1) / 2;
		r = n - r;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=dist;j++){
				int to = i + j;
				if(i % 2 == 1 && j == 1 && r){r -= 2; continue;}
				if(to > n) to -= n;
				res.push_back({min(to,i),max(to,i)});
			}
		}
	}
	return res;
}
void solve(){
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	if(m == 1 || m == 2 || m == 4 || m == 6){
		cout << "No\n";
		return ;
	}
	else if(m == 12){
		if(n < 6){
			cout << "No\n";
			return ;
		}
		cout << "Yes\n";
		cout << "1 4\n1 5\n1 6\n2 4\n2 5\n2 6\n3 4\n3 5\n3 6\n4 5\n4 6\n5 6\n";
		return ;
	}
	if(n * (n - 1) / 2 < m){
		cout << "No\n";
		return ;
	}
	int N = find(sqrt(m),m);
	if(N <= n){
		vector< pair<int,int> > ans = Make(N,m);
		cout << "Yes\n";
		for(pair<int,int> e : ans)
			cout << e.fi << " " << e.se << "\n";
		return ;
	}
	else{
		int M = (n * (n - 1)) / 2 - m;
		if(M == 0 || M == 1 || M == 2 || M == 4 || M == 6){
			cout << "No\n";
			return ;
		}
		vector< pair<int,int> > ans;
		ans.clear();
		cout << "Yes\n";
		if(M == 12){
			ans.push_back({1,4});ans.push_back({1,5});ans.push_back({1,6});
			ans.push_back({2,4});ans.push_back({2,5});ans.push_back({2,6});
			ans.push_back({3,4});ans.push_back({3,5});ans.push_back({3,6});
			ans.push_back({4,5});ans.push_back({4,6});ans.push_back({5,6});
		}
		else{
			int NN = find(sqrt(M),M);
			ans = Make(NN,M);
		}
		set<pair<int,int> > st;
		st.clear();
		for(pair<int,int> e : ans)
			st.insert(e);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(st.count({i,j})) continue;
				cout << i << " " << j << "\n";
			}
		}
	}
}
int main(){
	IOS;
	int T;
	cin >> T;
	while(T -- )
		solve();
	return 0;
}