P6819 PA 2012 Binary Dodgeball Sol

难难。

题目链接。

判定

先考虑如何判定一个 \(n\) 合不合法。

发现题目是 \(\times 2^p\)，因此考虑二进制。显然的，如果两个数字可以消去，当且仅当两个数字 \(lowbit\) 前面的相等。

举例
10110 -> 1011000 显然是合法的，而都可以视作 1011 而来
而 10110 -> 101110 则显然没有合法的方式

同时容易观察到的是，加 0 和删 0 是不影响结果的。

而我们不妨对于每一个 \(lowbit\) 进行分组，则问题变成有若干组数字堆，每一个数字堆有若干个数，每一次可以对于一个数，选择删去 0，第一个无法删去 0 的人输。因此不妨视作石子游戏，只是新增加了一个规则：如果组内出现石子个数相同的情况，那么删去两堆。

考虑基础的 \(Nim\) 游戏，我们发现如果两个堆的石子个数想等，那么不会进入考虑范围。也就是说，实际上这个新加的规则是没有影响的。因此 \(Nim\) 和依然通用。

所以，问题也就变成末尾的 0 的个数的异或和是否为 0，为 0 则后手必胜。

查找

假设我们希望倒数 \(i\) 位都是 0。那么显然方案数为 \(\lfloor \frac{n}{2^i} \rfloor - \lfloor \frac{n}{2^{i+1}} \rfloor\)。发现这个也就是说 \(n\) 的第 \(i\) 位是否与 \(n\) 的第 \(i+1\) 位相等。

考虑使用二分查找 \(n\)，找到最小的 \(n\) 满足条件。不妨使用数位DP，定义 \(f[i][j][k][0/1]\) 表示第 \(i\) 位，填 \(j\)，异或和为 \(k\)，是否贴到上界。转移显然。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
#define LL long long
#define fi first
#define se second
LL f[66][3][66][3];
LL solve(LL x){
	memset(f,0,sizeof f);
	f[60][0][0][1] = 1;
	for(int i=60;i>=1;i--)
		for(int j=0;j<2;j++)
			for(int k=63;k>=0;k--){
				if((x >> (i-1)) & 1){
					f[i-1][1][k ^ ((j^1) * (i-1))][1] += f[i][j][k][1];
					f[i-1][0][k ^ (j * (i-1))][0] += f[i][j][k][1];
				}
				else
					f[i-1][0][k ^ (j * (i-1))][1] += f[i][j][k][1];
				f[i-1][1][k ^ ((j^1) * (i-1))][0] += f[i][j][k][0];
				f[i-1][0][k ^ (j * (i-1))][0] += f[i][j][k][0];
			}
	LL res = 0;
	for(int i=0;i<2;i++)
		for(int j=0;j<2;j++)
			res += f[0][i][0][j];
	return res - 1;
}
int main(){
	IOS;
	int k;
	cin >> k;
	LL l = 1,r = (1ll<< 60);
	LL fnd = 0;
	while(l <= r){
		LL mid = l + r >> 1;
		LL res = solve(mid);
		if(res >= k){
			r = mid - 1;
			fnd = mid;
		}
		else
			l = mid + 1;
	}
	cout << fnd;
	return 0;
}