P4318 完全平方数 Sol

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第一次做莫反题。

这题的二分思路是显然的，那么问题转化成如何快速求 \(\le x\) 的合法数字数量。

不妨考虑容斥。显然的，一个数字合法，当且仅当其质因子出现次数至多为 \(1\)，因此可以容斥掉不合法的。

考虑枚举最基础的 \(i\)，满足 \(i\) 是合法的，且 \(i > 1\)，则如果 \(i\) 的质因数个数为奇数，那么显然就要减去 \(x/(i\times i)\)，否则就要加上。想到莫比乌斯函数。

显然的，有 \(f(n) = \sum\limits_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i) \cdot \lfloor \frac{n}{i\times i} \rfloor\)。然后做完了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
#define LL long long
#define fi first
#define se second
const int N = 40000;
int primes[N],mu[N],tot;
bool vis[N];
void init(){
	mu[1] = 1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(vis[i] == 0){
			primes[++tot] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			int k = i * primes[j];
			if(k >= N) break;
			vis[k] = 1;
			if(i % primes[j] == 0){
				mu[k] = 0;
				break;
			}
			else
				mu[k] = -mu[i];
		}
	}
	return ;
}
LL calc(LL x){
	LL res = 0;
	for(int i=1;i<=N && 1ll * i * i <= x;i++)
		res += 1ll * mu[i] * (x / (1ll * i * i));
	return res;
}
int main(){
	IOS;
	init();
	int T;
	cin >> T;
	while(T -- ){
		LL k;
		cin >> k;
		LL l=1,r=(LL)(2e9);
		LL ans = -1;
		while(l <= r){
			LL mid = l + r >> 1;
			if(calc(mid) >= k){
				ans = mid;
				r = mid - 1;
			}
			else
				l = mid + 1;
		}
		cout << ans << '\n';
	}
	return 0;
}