P14309 【MX-S8-T2】配对题解

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题目大意

给定\(n\)个点的树，每条边有边权，每个点有一个参数\(c_i\)，若\(c_i =1\)，表示被用于配对，每个点只能配对一次，若能配对，则必须配对。每一次配对，会给\(r\)加上两个点之间的距离。可以交换一次\(c_i\)，求\(r\)的最小值。

数据范围：\(2 \leq n \leq 10^6\)；\(1 \leq w_i \leq 10^9\)；\(c_i \in \{0, 1\}\)；\(1 \leq u_i, v_i \leq n\)；

解题思路

由于本篇题解是参照第一篇题解，因此同样钦定\(c\)为0的点为白点，否则为黑点

关键观察

通过手玩样例，我们可以意识到如果不进行交换，则在最优方案下，两个配对的黑点之间一定不会有其他未配对的黑点

再通过一定的思考，我们就可以得出，在最优方案下，每一棵子树内最多只剩下一个还未被匹配的黑点。进一步的，我们可以发现，一条边如果能产生贡献，当且仅当这个子树内有奇数个黑点。那么，答案仅与每个子树黑点个数的奇偶性相关

至此，我们有了更高效的计算方式

状态设计

考虑各个操作对答案的影响：

删除

从这个节点到根路径上的所有节点取反

交换

考虑交换\(i,j\)，那么就是从\(i\)到\(j\)路径上的所有点取反。其中，特别的，两点的LCA不变

接下来是第一篇题解的精妙之处：其设计了\(f_{i,x,y}\)，表示\(i\)节点，取反\(x\)个黑点和\(y\)个白点的最小贡献

通过这种方式，使得官方题解中的八个近乎猎奇的状态变成了类似与背包的状态，更加易于思考，转移

状态转移

有了上面的状态，转移并不算难

我们可以枚举自身和儿子的状态进行转移

钦定当前考虑转移的状态为：\(f_{u,a_u,b_u}\)，\(f_{v,a_v,b_b}\)，那么转移就显然为\(f_{u,a_u+a_v,b_u+b_v}=f_{u,a_u,b_u} + f_{v,a_v,b_b} + w \times (size_v+b_u+b_v) mod 2\)，在这里，\(size_i\)表示\(i\)为根的子树内的黑点总数

初始状态：\(f_{i,0,0}=0\)，当前点为黑点，则有\(f_{i,1,0} =0\)，否则有\(f_{i,0,1}=0\)

注意：由于这个DP非常像背包，因此需要用\(g\)来辅助转移，否则会出现前面的转移影响后面的情况

具体实现看代码

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0)
#define FailureG(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
namespace WinterXorSnow{
	const int N = 1e6 + 10;
	vector< pair < ll , ll > > G[N];
	ll f[N][3][2],g[N][3][2];
	int n;
	ll siz[N],c[N];
	void dfs(int u,int fa){
		siz[u] = c[u];
		for(auto [v,w] : G[u]){
			if(v == fa) continue;
			dfs(v,u);
			siz[u] += siz[v];
		}
		return ;
	}
	void solve(int u,int fa){
		f[u][0][0] = 0;
		if(c[u]) f[u][1][0] = 0;
		else f[u][0][1] = 0;
		for(auto [v,w] : G[u]){
			memset(g[u],0x3f,sizeof g[u]);
			if(v == fa) continue;
			solve(v,u);
			for(int a1 = 0;a1 <= 2;a1 ++){
				for(int b1 = 0;b1 <= 1;b1 ++ ){
					for(int a2 = 0;a2 <= 2;a2 ++ ){
						for(int b2 = 0;b2 <= 1;b2 ++ ) {
							int x,y;
							x = a1 + a2;
							y = b1 + b2;
							if(x > 2 || y > 1) continue;
							g[u][x][y] = min(g[u][x][y],f[v][a2][b2] + f[u][a1][b1] + w * ((siz[v] - a2 + b2 + 2) % 2));
						}
					}
				}
			}
			memcpy(f[u],g[u],sizeof g[u]);
		}
		return ;
	}
	void work(){
		cin >> n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			cin  >> c[i];
		for(int i=1;i<n;i++){
			ll u,v,w; cin >> u >> v >> w;
			G[u].push_back({v,w});
			G[v].push_back({u,w});
		}
		dfs(1,0);
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		solve(1,0);
		if(siz[1] & 1) cout << min(f[1][1][0],f[1][2][1]);
		else cout << min(f[1][0][0],f[1][1][1]);
	}
}
int main()
{
	IOS;
	WinterXorSnow::work();
	return 0;
}