好题收录

8.24 模拟赛 T3

题意：

给定一棵 \(n\) 个结点，以 \(1\) 为根的树，每个结点有点权 \(a_i\)。可以将若干个点染成红色。定义一个结点 \(u\) 是好的，当且仅当：

• \(u\) 是红色。
• \(u\) 子树内（包括自身）有 \(k\) 个权值和 \(u\) 权值相等红色结点，其中 \(k\) 为给定值。

对于所有的 \(1 \le i \le n\)，求出树中有 \(i\) 个好的结点的染色方案。
认为两种方案不同，当且仅当存在一个结点在一个方案中是红色，另一个方案中没有染色。
\(1 \le k \le n \le 3000\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。

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8.31 模拟赛 T2

题意：给定 \(n\) 和长度为 \(n\) 的数组 \(\{a_n\}\)，要求将 \(1,2,\dots,n\) 划分成若干个小组（不要求连续）。要求，对于每个 \(i\)，其所在的组中元素个数 \(\le a_i\)。求方案数，对 \(10^9+7\) 取模。\(n \le 2000,1 \le a_i \le n\)，时限 0.5s。
两种方案被认为是不同的，if and only if 存在 \(i,j\)，在一种方案中在同一组中，另一种方案中不在同一组中。

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HDU 4689 Derangement

题意：给定一个长度为 \(n\)，包含 + 和 - 的字符串 \(s\)。求长度等于 \(n\) 的排列 \(p\) 的数量，满足对于所有 \(1 \le i \le n\)，若 \(s_i=\)+，则 \(p_i > i\)。
数据范围不明确。经测试，要求单组时间复杂度在 \(O(n^2)\) 左右。

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洛谷 P4099 [HEOI2013] SAO

题意：给定一个 \(n\) 个点的有向图，保证将有向边视为无向边后，图构成一棵树。求其拓扑序个数，\(n\le 1000\)，对 \(10^9+7\) 取模。

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洛谷 P13309 演剧

题意：给定长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_n\}\)。两个人博弈，A 操作，B 后操作。每一轮，操作者可以将序列分成两段，由另一人删去其中一段。剩余一个数的时候停止。A 想让剩余数尽量大，B 想让剩余数尽量小。两个人都用最优方案，求剩余的数。\(n \le 10^5,a_i \le 10^9\)。

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洛谷 P5405 [CTS2019] 氪金手游

题意：给定一个 \(n\) 个点的有向图，满足将有向边视为无向边后图为一棵树。每个点有点权 \(w_i\)。在 \(\{1,2,3,\dots,n\}\) 内随机选数，有 \(\frac{w_i}{\sum w_i}\) 的概率选到 \(i\)。可能重复抽到某数。当所有数都至少被抽到一次后，选数过程停止。记第一次选到 \(i\) 的时间为 \(t_i\)，这一次选数过程被称为好的，当且仅当对于图中每一条有向边 \(u \to v\)，满足 \(t_u < t_v\)。求选数过程是好的概率。
两种过程认为不同，当且仅当抽数次数不同，或某一次两种方案抽到的数不同。\(n\le 1000\)。
更进一步地，\(w_i\) 不会直接给出，输入会给出 \(p_{i,j}\)，表示 \(w_i\) 以 \(p_{i,j}\) 的概率取 \(j\)。其中 \(1 \le j \le 3\)。

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9.13 模拟赛 T3

题意：有一个长度为 \(n\) 的数组 \(b\)，初始值全为 \(0\)。同时有一个长度为 \(m\) 的序列 \(a_i\)。依次进行操作 \(i=1,2,\dots,n\)。

• 对于操作 \(i\)，可以选择 \(b\) 中任意不同的 \(a_i\) 个位置 \(j_1,j_2,\dots,j_{a_i}\)，对于每个 \(p=1,2,\dots,a_i\)，将 \(b_{j_p}\) 加一。

对于每一个 \(k=1,2,\dots,m\)，求出，所有可能情况中，操作完所有 \(a_i\)后，\(b\) 数组中最多有多少个值为 \(k\) 的数。
\(1 \le n,m \le 2\times 10^5,1 \le a_i \le n\)。

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9.20 模拟赛 T4

题意：有 \(n\) 个点，每个点有四个属性 \(a_i,b_i,c_i,v_i\)。现在要在这 \(n\) 个点之间连无向边。要求：

• \(i\) 的度数至少为 \(a_i\)。
• \(i\) 的所有邻居 \(j\) 的 \(v_j\)，要么都小于等于 \(v_i\)，要么都大于等于 \(v_i\)。
  当小于等于的时候，\(i\) 这个点的收益为 \(b_i\)；大于等于的时候，收益为 \(c_i\)。如果邻居的 \(v_j\) 值全部等于 \(v_i\)，那么收益为 \(\max(b_i,c_i)\)。

最大化收益，或报告无解。
\(1 \le n \le 400,0 \le a_i \le n, 1 \le v_i \le n, 0 \le b_i,c_i \le 10^9\)。

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CF2150C Limited Edition Shop

这道题最困难的是，你得相信他是一个 DP，而不是贪心。

第二困难的是，答案和 Alice 的选择顺序无关，只和选择的子集有关。

第三困难的是，你得相信他写出来的空间 \(O(n^2)\) 的 DP 是可以用线段树优化成 \(O(n \log n)\) 的。

AGC015E Mr.Aoki Incubator

题意：数轴上有 \(n\) 个人，在 \(x_i\) 处的人以 \(v_i\) 的速度朝正方向匀速运动。初始有某些人携带病毒，当某一时刻两个人相遇时，若其中一个人携带病毒，就会传染给另外一个人。求所有的 \(2^n\) 种初始携带病毒的情况中，使得充分长的时间后，所有人都携带病毒的方案数。对 \(10^9+7\) 取模。

\(n \le 2 \times 10 ^5,1 \le x_i,v_i \le 10^9\)，且不存在 \(i\ne j\) 使得 \(x_i=x_j\) 或 \(v_i=v_j\)。

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10.6 模拟赛 T4（QOJ 1836）

题意：给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，定义“花”为一个拥有 \(4\) 个结点的导出子图，这个导出子图有 \(1\) 条边或 \(5\) 条边。定义“叶”为一个拥有 \(4\) 个结点的导出子图，这个导出子图有 \(3\) 条边，且这 \(3\) 条边构成一条链。
认为两个“花”是不同的，当且仅当它们的点集不同。“叶”同理。
求这个图的“叶”的个数减去“花”的个数。
\(n \le 2000, m \le \frac 12 n(n-1)\)，无重边无自环。时间限制 2s，空间限制 512MB。

核心：注意到。

列出所有可能的，点集 \(|V|=4\) 的图的形态（不关心点的顺序）。记这些形态的图的个数为 \(x_1, x_2,\dots, x_6\)。

然后计算一些四元组 \((A,B,C,D)\) 的个数。通过 bitset 做到 \(O(\frac{n^3}w)\) 计算这样四元组的个数。

找到四元组个数和 \(x_1, x_2, \dots, x_6\) 的关系。通过待定系数法凑出答案。

重点是这个凑配的意识吧，具体凑配过程在这里。

10.18 学校模拟赛 T4

题意：有一个含 \(\text{NaN}\) 的排列 \(1, 2, 3, \dots, n-1, \text{NaN}\)。其中 \(n=1\) 时排列有一个元素 \(\text{NaN}\)。求这个排列构成小根堆的概率，对 \(10^9+7\) 取模。
一个排列 \(a\) 构成小根堆，当且仅当对于所有 \(2 \le i \le n\)，满足 \(a_i < a_{\lfloor i/2 \rfloor}\) 不成立。而 \(\text{NaN}\) 与任何数比较的结果都是 false。
\(T\) 组数据，\(n \le 10^9,T \le 10^3\)。

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洛谷 P7011 Escape

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洛谷 P9530 Fish 2

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洛谷 P8867 建造军营

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11.9 模拟赛 T3

题意：将 \(n\) 个线段分成恰好 \(m\) 组，每个线段需要且只能分进一组。求这 \(m\) 组线段合法的得分之和最大是多少。一组线段的得分定义为它们的交的长度（区间长度为右端点减左端点）。一个方案合法，当且仅当每组线段有交且长度大于 \(0\)。保证有解。
\(m \le n \le 200\)。线段端点取值 \([0, 10^5]\)。

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11.11 模拟赛 T3

题意：给出一个 \(n\) 个点标准的（分界点为 \(\lfloor \frac{l+r}2 \rfloor\)）的线段树。定义一个区间的权值为，将这个区间正常地摊开在线段树上访问的结点数。例如，\(n=5,[2, 3]\) 的权值就是 \(5\)。\(q\) 组询问，每组给出一个 \([l, r]\)，表示询问所有 \([l, r]\) 的非严格子区间（单点也算）的权值和。
\(1 \le n, q \le 5 \times 10 ^ 5\)。强制在线。

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