洛谷 P13309 演剧

题意：给定长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_n\}\)。两个人博弈，A 操作，B 后操作。每一轮，操作者可以将序列分成两段，由另一人删去其中一段。剩余一个数的时候停止。A 想让剩余数尽量大，B 想让剩余数尽量小。两个人都用最优方案，求剩余的数。\(n \le 10^5,a_i \le 10^9\)。

套路是，二分答案 \(k\)，将序列中大于等于 \(k\) 的赋成 \(1\)，其余赋成 \(-1\)。
A 能取到大于等于 \(k\) 的，视为 A 取到 \(1\)，称作 A 赢。这样输赢就只与 \(1\) 和 \(-1\) 有关。

结论是，如果序列中 \(1\) 的个数大于 \(-1\) 的个数，即总和大于 \(0\)，则 A 赢。
若总和小于 \(0\)，则 B 赢。
总和等于 \(0\)，若前缀和等于 \(0\) 的数量为奇数，则 B 赢。
否则 A 赢。

证明：
\(n=1\) 时显然。
假设结论对所有 \(n < k\) 成立，试说明 \(n=k\) 时也成立。

若总和大于 \(0\)，那么取第一个总和为 \(0\) 的前缀（没有的时候显然直接赢了）。分成一个和为 \(0\) 的段和和 \(>0\) 的段。这里先后手轮换，可以理解成所有 \(1\) 变成 \(-1\)，所有 \(-1\) 变成 \(1\)。后手取的时候相等于在一个和为 \(0\) 的段和和 \(<0\) 的段中取。应用归纳假设，可得后手输。

总和小于 \(0\) 的情形同理。

总和等于 \(0\) 时：设最多可以分成 \(x\) 段和为 \(0\) 的【不交】且【并为原序列】的子段。
\(x=1\) 时，只能分成 \(>0\) 的一段和 \(<0\) 的一段。应用归纳假设，后手必赢。
这里注意到若 \(x\) 为奇数等价于先手输。

\(x > 1\) 时，先手为了避免上面一种情况出现，只能会分成，包含 \(u\) 段和为 \(0\) 的序列，以及包含 \(v\) 段和为 \(0\) 的序列。对 \(u,v\) 分奇偶易证。

所以证毕。

代码是好写的，时间复杂度 \(O(n \log a_i)\)。