(未完成)概率与计算 ----学习笔记

概率与计算（定理、推论集合）

本随笔仅作定理和推论的归纳整合，方便直接复习

Chapter \(I\)

概率论公理

定义 \(1.1\)

  概率空间三要素

   \(1.\) 样本空间 \(\Omega\)，限制在概率空间上的随机过程所以可能结果的集合
   \(2.\) 表示可容许事件的族集 \(\mathcal{F}\) ，其中 \(\mathcal{F}\) 中的每个集合都是样本空间 \(\Omega\) 的子集
   \(3.\) 满足定义 \(1.2\) 的概率函数 \(Pr: \mathcal{F} \rightarrow R\)

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定义 \(1.2\)

  概率函数是一个满足下列条件的函数 \(Pr:\mathcal{F} \rightarrow R\)

   \(1.\) 对于任意的事件 \(E\)，\(0 \leq Pr(E) \leq 1\)
   \(2.\) \(Pr(\Omega) = 1\)
   \(3.\) 对任意两两互不相交的事件的有限或可数无穷事件列 \(E_1,E_2,E_3,...,\) 有

\[Pr(\bigcup_{i \geq 1}E_i) = \sum_{i \geq 1} Pr(E_i) \]

   在离散概率空间中，样本空间是有限集或可数无限集

   而可容许事件族 \(\mathcal{F}\) 由样本空间 \(\Omega\) 中的所有子集构成

   在离散概率空间中，概率函数由简单事件的概率唯一确定

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\(ps.\)
  对于定义 \(1.1\) 中三要素的 \(\textcircled{2}\) ，考虑在一个离散的概率空间中，\(\mathcal{F} = 2^{\Omega}\) ，否则，初学者可以跳过这一点，因为事件要求是可测的，\(\mathcal{F}\) 必须包括空集，且对取补集是封闭的，可数多个集合的交也是封闭的

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引理 \(1.1\)
   对于任意两个事件 \(E_1,E_2\)，有

\[Pr(E_1\bigcup E_2) = Pr(E_1) + Pr(E_2) - Pr(E_1 \bigcap E_2) \]

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引理 \(1.2\) （并的界）
   对于任意有限或无限可数事件列为 \(E_1,E_2,...,\) 总有

\[Pr(\bigcup_{i \geq 1} E_i) = \sum_{i = 1} ^ n Pr(E_i) - \sum_{i < j} Pr(E_i\bigcap E_j) + \sum_{i < j < k} Pr(E_i \bigcap E_j \bigcap E_k) - ... (-1)^{l + 1}\sum_{i_1 < i_2 < i_3 < ... < i_l} Pr(\bigcap_{i = 1}^l E_i); \]

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引理 \(1.3\) （独立）
   两个事件 \(E\),\(F\) 是独立的，当且仅当

\[Pr(E\bigcap F) = Pr(E) \cdot Pr(F) \]

更一般的，事件 \(E_1,E_2,E_3,...,E_k\) 是相互独立的,当且仅当

\[Pr(\bigcap_{i = 1}^k E_i) = \prod_{i = 1}^kPr(E_i) \]

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定义 \(1.4\) (条件概率)
   在已知事件 \(F\) 发生的条件下，事件 \(E\) 也发生的条件概率为

\[Pr(E |F) = \frac{Pr(E\bigcap F)}{Pr(F)} \]

仅当 \(Pr(F) > 0\) 时，条件概率才有定义