题解：P10553 [ICPC2024 Xi'an I] Guess The Tree

1.题意

存在一个满 \(2\) 叉树，有 \(n\) 层（即有 \(2 ^ n - 1\) 个节点） 节点编号未知。

你需要在至多 \(4800\) 次询问中，找到每个节点的编号。

询问时，需要选择两个编号 \(u,v\) ($ 1 \leq u,v \leq 2 ^ n - 1$) 以 "? \(u,v\)" 的形式询问。

然后你会得到 \(u,v\) 编号所对于的节点的lca的编号 \(t\) 。

回答时，需要找到这颗树的结构 以 "！ \(f_1\ f_2\ f_3 ...f_{2 ^ n - 1}\)" 输出。

其中 \(f_i\) 为 第 \(i\) 号节点的父亲节点的编号。

2.分析

关键在于 lca 的用处：剖链

钦定一个 \(u\)
剖出一条 \(u\)，根节点 与 一个叶子节点 的链。

若 $lca( u,v )\ \neq u $，见图

若 $lca( u,v )\ = u $，见图

此时将 \(u \rightarrow v\) 向更深处前进，直到 \(v \in leafnode\)

如果一条链确定了，整个链上节点的父子关系就确定了。

然后递归剖链，最后找到每个节点的父子关系。

询问次数最坏为大约 \(4600\) 次。

但是，链上节点先后顺序不清楚，如果再去用询问排序，询问次数达到了 \(6000\) 多次。

显然不可接受，

重新思考信息有没有能深度挖掘的地方。

我们来看一看满二叉树的形态

假设我们剖出的是最左侧的一条链，

不妨将这条链提起来

不难发现这条链上每个点以下的子树大小都不同。

子树大的层数小，子树小的层数大

其中，层数小的节点是层数大的节点的父亲。

只需记录下来就可以将链上节点排序。

至此问题解决。

3.code

my code:

#define useLL
#define interaction
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace AllRangeApply_Define{
#define CIN const int
#define il inline
#define l2(x) __lg(x)

#ifdef submit
#define MJY(p) freopen(p".in","r",stdin);freopen(p".out","w",stdout);
#define fileread(p) freopen(p".in","r",stdin);
#define filewrite(p) freopen(p".out","w",stdout);
#endif

#ifdef timecheck

#define endctime end = clock(); \
cerr<<"time = "<<double(end-start)/CLOCKS_PER_SEC<<"s"<<"\n";

#define endtime end = clock(); \
fprintf(stderr,"time = %.4lf s\n ",double(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);

#define starttime clock_t start,end; \
start = clock();

#endif

#ifdef memcheck

#define mstart bool Med;
#define mend bool Mbe;
#define cmem fprintf(stderr, "%.3lf MB\n", (&Mbe - &Med) / 1048576.0);

#endif

#ifdef useLL
#define int long long
#endif

// temp define is following

#ifdef interaction
#define ffclean fflush(stdout);
#endif

#ifdef useArr
#define arr(x) array<int,x>
#endif

}

using namespace AllRangeApply_Define;

namespace my{

#define pb insert

CIN N = 1030;
vector<int> nd[N];

pair<int,int> add(int k) {
	pair<int,int> d;
	d.first = nd[k].size();
	d.second = k;
	return d;
}

int n,f[N],ndct;

set<pair<int, int>> s[N];

void toAns() {
	cout<<"! ";
	for(int i = 1;i<(1<<n);i++) {
		if(f[i])cout<<f[i]<<' ';
		else cout<<"-1 ";
	}
	cout<<endl;
}

int ask(int u,int v) {
	cout<<"? "<<u<<' '<<v<<endl;
	int res;
	cin>>res;
	return res;
}

#define num second 
void dfs(int from) {
	int pos=*nd[from].begin();
	s[from].pb(add(pos));
	for(int ii = 1;ii<nd[from].size();ii++) {
		int i = nd[from][ii];
		int res = ask(pos,i);
		if(res != pos && res != i) {
			if(s[from].find({nd[res].size(),res}) != s[from].end()) s[from].erase({nd[res].size(),res});
			nd[res].push_back(i);
			s[from].pb(add(res));
		}
		if(res == pos){
			s[from].pb(add(i));
			pos = i;
		}
	}
	f[s[from].rbegin()->num] = from;
	auto it2 = s[from].rbegin();
	for(auto it = s[from].rbegin();it != s[from].rend();it++) {
		it2 = it;
		it2++;
		if(it2 == s[from].rend()) break;
		f[it2->num] = it->num;
	}
	for(auto it = s[from].rbegin();it != s[from].rend();it++) if(!nd[it->num].empty()) dfs(it->num);
	return;
}

signed main() {

	cin>>n;
	ndct = (1<<n) - 1;
	for(int i = 1;i<=ndct;i++) nd[0].push_back(i);

	dfs(0);

	toAns();

	return 0;
}

}

signed main() {
	return my::main();
}