【学习笔记】逆元

逆元

定义

若 \(ax\equiv1\pmod p\)，且 \(a\) 与 \(p\) 互质，则称 \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。

所以对于求解 \(\frac{a}{b} \bmod p\)，我们可以先求出 \(b\) 的逆元 \(b^{-1}\)，在将 \(a\) 与 \(b^{-1}\) 相乘再模 \(p\)，就可以求解了。

做法

扩展欧几里得算法（exgcd）

可以将 \(ax\equiv1\pmod p\) 转化为 \(ax+py=1\) 求解。

欧拉定理

\(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod p\)，那么 \(x=a^{\varphi(p)-1} \bmod p\)，满足条件。利用快速幂计算即可。

\(\mathcal{O(n)}\) 求阶乘逆元

若需要求 \((i!)^{-1} \ (i \in [1,n])\)，则可以先求出 \((n!)^{-1}\)，再通过递推求出 \((i!)^{-1}\) 的逆元，为 \((i!)^{-1} \equiv ((i+1)!)^{-1 }\times (i+1) \pmod p\)。

线性求逆元

若给定 \(a_1,a_2, \dots ,a_n\)，可以先求出 \(k=\prod_{i=1}^{n} a_i\) 以及 \(k^{-1}\)。

再求出前缀积 \(pre_i=\prod_{j=1}^{i}\) 和后缀积 \(suf_i=\prod_{j=i+1}^{n}\)。

则有 \(a_i=k^{-1}\times pre_{i-1} \times suf_{i+1} \bmod p\)。

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