【学习笔记】错排问题

错排问题

题意

已知一个长度为 \(n\) 的排列 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)。求 \(\forall i \in [1,n]\text{ s.t. }p_i \ne i\) 的方案数。

法1

考虑容斥原理。

因为容斥求的是并集（\(\cup\)）但这里求的是交集（\(\cap\)），因此可以将它的补集求出来，再将总数减去方案数即可。

设有 \(n\) 个集合 \(A_i=\{P\mid p_i=i\}\)，即 \(|A_i|\) 表示存在 \(p_i=i\) 的方案数。

而答案就是将所有 \(|A_i|\) 求和，再减去两个 \(A_i\) 交起来，在加上三个 \(A_i\) 交起来，等等。

则有方案数为 \(D_n=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\cdot \binom{n}{i}\cdot(n-i)!\)，其中 \(i\) 表示有 \(i\) 处的 \(p_i\) 满足 \(p_i=i\)，\(\binom{n}{i}\) 表示选出 \(i\) 处的方案数，\((n-i)!\) 表示剩下 \(n-i\) 处地方可以满足的方案数。

所以答案就是 \(n!-D_n\)，可以写作 \(\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{i-1}\cdot \binom{n}{i}\cdot(n-i)\)。

法2

因为 \(p_n\ne n\)，所以 \(p_n\) 有\(n-1\) 中取法。

我们设 \(p_n=i\)，那么对于 \(p_i\) 来说，\(p_i=\begin{cases}n\\\ne n \end{cases}\)，两种情况。

• 情况一：若 \(p_i=n\)，那么相当于将 \(i\) 与 \(n\) 交换，方案数为 \(D_{n-2}\)。

• 情况二：若 \(p_i \ne n\)，实际上也就是 \(D_{n-1}\) 种情况。

所以 \(D_n=(n-1)\cdot (D_{n-2}+D_{n-1})\)。递推即可。

\[\large{\mathbb{END}} \]