【学习笔记】扩展中国剩余定理（EXCRT）

扩展中国剩余定理（EXCRT）

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题目：​P4777-洛谷​

为什么不写中国剩余定理，因为 A_zjzj 大佬表示这并没有用处...

简述

如果给定 \(n\) 个同余方程组

\[\begin{cases} x \equiv b_1 \pmod {a_1} \\ x \equiv b_2 \pmod {a_2} \\ x \equiv b_3 \pmod {a_3} \\ \cdots \\ x \equiv b_n \pmod {a_n} \\ \end{cases} \]

保证 \(a\) 是正整数，\(b\) 是非负整数

现在要求找一个非负整数 \(x\)，使得 \(x\) 最小且满足这 \(n\) 同余方程

数据保证 \(x\) 不超过 \(10^{18}\)

做法

可以考虑将同余方程合并

对于一个合并完后的方程以及一个需要合并的方程：

\[\begin{cases} x \equiv B \pmod {A} \\ x \equiv b \pmod {a} \\ \end{cases} \]

可以推出：

\[x+A\times X=B \ (X\in \mathbb{Z})\\ x+a\times Y=b \ (Y\in \mathbb{Z}) \]

即：

\[B-A\times X=b-a\times Y \]

整理得：

\[A\times X - a\times Y=B-b \]

我们就可以用 exgcd 求出 \(A\times X - a\times Y=\gcd(A,a)\) 其中一个解。再同时乘 \((B-b) \ \div \ \gcd(A,a)\) ，可以得到一个解 \(x_0,y_0\)。

我们可以从其得到其通解为：

\[X=x_0+\frac{a}{\gcd(A,a)}\times k\\ Y=y_0-\frac{A}{\gcd(A,a)}\times k \]

由前面我们可知 \(x=B-A\times X\) ，将 \(X\) 的通解带入，可以得到：

\[x=B-A\times (x_0+\frac{a}{\gcd(A,a)}\times k)\\ \ =B-A\times x_0 \ -\ \frac{A\times a}{\gcd(A,a)}\times k\\ =B-A\times x_0 \ - \operatorname{lcm}(A,a)\times k \]

我们可以得到一个同余方程：

\[x \equiv B-A\times x_0 \pmod {\operatorname{lcm}(A,a)} \]

对于多个方程只需将其两两合并即可。
以上就是所有思路过程了。

Code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS cin.tie(0),cout.tie(0),ios::sync_with_stdio(0)
#define mod 998244353
#define ll __int128
#define lll long long
#define db double
#define pb push_back
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof x)
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=1e5+5;
const ll INF=1ll<<60;
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	else{
		ll aa=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
		return aa;
	}
}
ll A,B,x,y;
int main(){
	lll a,b;
	IOS;cin>>n;
	A=1;B=0;//因为 x mod 1 一定等于零
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a>>b;
		ll gd=exgcd(A,a,x,y);
		x=(B-b)/gd*x;
		B=B-A*x;
		A=a/gd*A;
		B=(B%A+A)%A;
	}
	lll ans=(B%A+A)%A;
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}

\(\LARGE{\mathbb{END}}\)