东印度公司 (EIC) 经济章程
Lec 1.
金融系统中，人类是 有策略 (strategic) 的（例如，他们可能会谎报地址，以进入更近的学校）——这一点与计算机系统中有所不同。因此，Market Design 的核心问题即为，设计参与者是有策略时仍然能 work 的原则。
有一个概率 \(p\)，和一个满足 \(p\)-Bernoulli 的可观测的分布。你如何通过经济利益向一个知道 \(p\) 且贪婪的人问出 \(p\)？
- 首先，你可以让他给一个预测，预测成功给他 \(1\)。这只能够判断出是否大于 \(0.5\)。
- 如果不很好地设置 reward 函数，给出的预测仍然是毫无信息量的。
- ML 和经济学的对齐（？）
Lec 2.
Serial Dictatorship：
以随机顺序 \(\pi\) 排列所有 agent，然后要求它们的喜好 \((\theta_1,\dots,\theta_n)\)；之后按顺序给每个人分配它们评价最高的资源。这样确实可以避免 agent 说谎，但似乎无法达到最优总距离？
——但是，可以证明，这个已经足够好了：一切确定性的好机制都与该机制（为了将其改造为确定性的，\(\pi\) 不再能是随机的，而要是固定且公开的）等价。
在市场设计中，我们总是假设存在一个 central planner，且设计的目标是最大化社会总福祉。
假设有一个 central planner 要处理 \(n\) 个 agent。每个 agent 都有一个私有的类型 \(\theta_i\in\Theta_i\)（在填报学校时，\(\theta_i\) 就是地址）。central planner 需要选择一个 outcome \(A\) 即一组匹配。所有 agent 进行一个行为 \(m_i\in M_i\)，则一个机制 \(\phi(m_1,\dots,m_n)\in A\) 描述行动生成 \(A\) 的过程。同时存在一个公开的效用函数 \(u_i(\theta_i,a)\)（在填报学校时，这是距离）。
一个好的机制应该保证，在所有 agent 都是自私时，仍然能最大化社会总福祉。
一个 action 集合 \(\cur{m_1,\dots,m_n}\) 是一个 weakly dominant strategy equilibrium，如果所有 agent \(i\) 无论其它 agent 的选择，总会选择 \(m_i\)。即，对于其它人的任何选择 \(m_{-i}'\)，均有
——但是，就算已经达到了 weakly dominant，总社会福祉一定最优吗？并不是，因为我们有囚徒困境。
Nash Equilibrium：在其它人的决策固定且公开时，所有人的决策均最适应于当前态。
Theorem (Nash)：如果允许 mixed strategy（即在决策中引入随机性），则所有博弈都存在 Nash 均衡。
Utilitarian Welfare Maximazation：\(f(\theta)=\arg\max_{a\in A}\sum_i u_i(\theta_i,a)\)。
Weighted Utilitarian Welfare Maximization：\(f(\theta)=\arg\max_{a\in A}\sum_i w_i\cdot u_i(\theta_i,a)\)
Log Welfare Maximization：\(\arg\max\prod_i u_i(\theta_i,a)=\arg\max\sum_i\log u_i(\theta_i,a)\)——更加公平。
哪种最好？不知道！所以只能使用 Pareto Optimality：不存在其它的结果，使得所有人都不变差的同时，有至少一个人严格变好。
一个 mechanism 实现了 Pareto Optimal，如果它存在一个 Weakly Dominant 且其是 Pareto。
One-Sided Matching：
- 有 \(n\) 个 agent 和 \(n\) 个资源。
- outcomes \(\Pi\) 是 agent-资源间的匹配。
- 所有 agent 都有私有类型 \(\theta_i\in\Theta_i\)，有 \(\theta_{i,j}\) 是被分配 \(j\) 时的效用。故 \(u_i(\theta_i,\pi)=\theta_{i,\pi(i)}\)。
如果 agent 不存在相等偏好，则 Serial Dictatorship 显然是 Pareto 的。
定理：所有有 WD 是 PO 的都等价于 Serial Dictatorship。
来证明！
定义：Direct Mechanism——直接让所有 agent 给出它们的 type 的 Mechanism。
Lec 3.
定理：在单向匹配问题里，如果「性质足够好的」确定性 IC 机制使用占优策略实现 Pareto 最优，则其等价于序列独裁策略。
如何放松？
- 允许使用非确定性机制。
- 放松 IC 限制。
- 要求效用函数满足某种结构。例如，假如引入「金钱」的概念后，效用函数就要求服从某种特殊的模式。
首先是非确定性的场合。我们有 Random Serial Dictatorship：
- 机制是，「均匀随机一个 \(\pi\) 然后按照其顺序分配」。随机 \(\pi\) 发生在所有 agent 公布它们的偏好 \(\theta\) 后。
- 显然，该机制仍然是 IC 的，且不仅如此，其对于所有人是公平的。
- 它是否是 Pareto 的呢？这取决于我们如何定义！
定义：
- ex-post Pareto Optimality：跑了一遍 mechanism，得到一个结果，并检查该结果是否处于 PO 态。显然，RSD 是事后 Pareto 的。
- ex-ante Pareto Optimality：将「随机性」也考虑入。
一个机制会对应一个结果空间上的分布 \(p(\pi)\)。如果不存在其它任何分布 \(p'(\pi)\) 使得所有人的期望效用都不变差的同时，有人的期望效用变好了。
有人给出了妙妙反例，证明了 RSD 不是事前 Pareto 的。
有人给出了妙妙定理，证明了不存在 anonymous, strategy-proof 且是事前 Pareto 的机制。
这表明：随机可以减轻公平问题，但代价是损害了 Pareto。
定义：一个 随机匹配矩阵 (random assignment matrix) 是一个 双随机 (bistochastic) 矩阵，即每行每列和均为一的矩阵。
定义：一个 排列矩阵 (permutation matrix) 是一个所有项均为 \(0\) 或 \(1\) 的随机匹配矩阵。匹配与排列矩阵等价。
定义：Birkhoff-von Neumann 定理：一切双随机矩阵都能被表示为排列矩阵的凸组合（即所有系数非负的组合）。
因此，一切随机分配策略都可以被解释为一车确定性匹配上的摇奖。
每个人只在意它们最终得到的 RAM，因此在分析随机 IC 策略时可能性时，可以直接考虑 RAM——由 Birkhoff-von Neumann 定理，只要有 RAM 就能搓对应的机制出来。
Cake Eating 算法：
- 一个算法是速度函数向量 \(\omega=\cur{\omega_i(\cdot)}\)，每个函数均有 \(\int\omega_i(t)\d t=1\)。
- 每个 agent 是一只老鼠，每个资源是一个大小为 1 的蛋糕。
- 只要还有至少一个蛋糕剩余，所有老鼠就会以 \(\omega_i(t)\) 的速率吃它最喜欢的蛋糕。
- 这样得到的东西就是一个 RAM，其中的每行每列是老鼠吃掉蛋糕的比例。
Single-Item Auction：
有一个 seller 和 \(n\) 个 buyer，只有一个 item。
central planner 要选择一个 outcome \((x,p)=(\cur{x_i},\cur{p_i})\)，其中 allocation \(x_i\) 是 agent \(i\) 获得之的概率，expected payment \(p_i\) 是期望从 \(i\) 身上获得的收益（也即，其实际上获得该 item 时，要支付的价格为 \(p_i/x_i\)）。
某个 agent 的期望收益是 \(\theta_ix_i-p_i\)，其中 \(\theta_i\) 是其对该物品价值的衡量。
一个机制是设置 action 集合 \(\cur{M_i}\) 以及给出对应的机制 \(\phi(m)=(x,p)\) 的方法。
目标：
- optimal。
- DSE。
- 每个人要感觉合理：即 \(u_i\geq0\)。如果它 \(<0\)，则它不会愿意参与拍卖。（individual rationality）
如何定义 optimality？可以定义 social welfare 为 \(\sum_i\theta_ix_i\)。注意，此处并没有减去 \(p_i\)——因为它纳入了 seller 的收益。也可以写成 \(\sum u_i+\sum p_i\) 的形式——后者是 seller 收益。那么，此时的最大值在 \(x=\arg\max\theta\) 处取得。
那么何时有 DSE 呢？不管所有人干嘛，直接固定一组 \(x_i\)，是一个 DSE——虽然它毫无意义。
如何售卖物品？
- 设置一个价格。但是如果多人都出到了价格线上呢？随机挑人吗？那这就不是 Pareto Optimal 了。
- 所以要拍卖。有两种拍卖模式：
降价模式：从高价开始不断降价，直到某人接受价格。这不存在 DSE：因为一个人可以在不超过第二大的人之前一直不入场。
加价模式：从低价开始不断加价，直到只剩一人愿意接受价格。这是存在 DSE 的：所有人的策略都是，在价格没达到 \(\theta\) 前，一直 stay，直到超过价格后 quit。同时它是 IC 的。
但是它也有问题：它要求事实的 bidding 流程，不方便。
所以有一个让事情更简单的方式：first-price auction，所有人给一个 bid，出价最高者获得物品。
但问题很显然：它没有 DSE。
Lec 4.
假设第 \(i\) 个人在 first-price auction 中叫价 \(b_i\)，则其事实上与降价模式中，「当售价降到 \(b_i\) 即接受」的行为等价。因此 first-price auction 与降价模式等价。
那么能不能找一个与加价模式等价的方案呢？second-price auction。所有人给一个 bid，出价最高者支付第二高的价格。
显然这是 IC 的：如果所有其它人的出价都比某人低，那么它不管出什么价效果都一样；如果有人比它高，那么反正它不会叫价到比那个人更高（那样对它的收益是负的），所以出什么价效果仍然都一样。
那么 second-price auction 是唯一 strategyproof 吗？有请 Myerson's Lemma，其刻画了所有 strategyproof 的策略：
定义 Monotone Allocation Rule：一个机制 \(x(\theta)\) 是 monotone non-decreasing 的，如果对于一切 \(\cur{\theta_{i'\neq i}}\) 以及 \(\theta_i\leq \theta_i'\)，均有 \(x_i(\theta_i,\cur{\theta_{i'}})\leq x_i(\theta_i',\cur{\theta_{i'}})\)，也即，一个人把评价提高不会降低其竞标成功的概率。
那么有 Myerson's Lemma：一个 direct mechanism（要求所有人如实汇报它们的 type 的机制）是 IC 的，当且仅当 \(x(\theta)\) 是 monotone non-decreasing 的，且有
也即，在 \(\theta_i\)-\(x_i\) 图上，\(p_i\) 是一个曲线上方的面积。
这里省略了其它人的 type \(\cur{\theta_{i'}}\) 作为各个函数的参数。
首先证明 DSE 满足该条件。
固定所有其它 \(\theta_{i'}\)，关注第 \(i\) 个 bidder。
若其真实值是 \(y\)，则对于一切 \(y<z\)，我们都要有
\[y\cdot x_i(y)-p_i(y)\geq y\cdot x_i(z)-p_i(z) \]（这里省略了 \(\cur{\theta_i}\) 的参数）。
与此同时，当真实值是 \(z\) 时，我们又要有
\[z\cdot x_i(z)-p_i(z)\geq z\cdot x_i(y)-p_i(y) \]将两式相减（上式左减下式右），得到
\[(y-z)\cdot x_i(y)\geq(y-z)\cdot x_i(z) \]因为 \(y<z\)，所以约掉要换号，于是知其是单调的。
现在仍然考虑真实 type 是 \(y\) 并汇报 \(z\) 的场合。其收益为 \(u_i(z)=y\cdot x_i(z)-p_i(z)\)。其在 \(y\) 处取得最大值，则有 \(u_i'(y)=0\)，即 \(y\cdot x_i'(y)=p_i'(y)\)。
现在两侧同时积分，即得 \(p_i(\theta_i)-p_i(0)=\int_0^{\theta_i}y\cdot x_i'(y)\d y\)。分部积分即可得我们需要的式子。
现在反过来。仍然假设真实 type 是 \(y\) 并有收益函数 \(u_i(z)\)，然后对着积分式子玩一玩就玩出来了（？）
由 Myerson 引理可知 second-price auction 是唯一的 IC、最大化个人以及社会福祉、individual rationality 的 mechanism。
现在的 second price auction 最大化了社会福祉 \(\sum\theta_ix_i\)，但是如果想最大化收益也即 \(\sum p_i\) 呢？则此时不存在一个统一的方案，seller 必须知道 buyer 的 type 分布才能对症下药。
因此令每个人的 distribution 是 \(f_i(\theta_i)\)，则我们希望最大化期望收益
Virtual Value 定理：在 strategyproof mechanism 的场合，期望 revenue 等效于
其中 \(\psi_i(\theta_i)=\theta_i-\dfrac{1-F_i(\theta_i)}{f_i(\theta_i)}\)，其中 \(f\) 是 PDF 而 \(F\) 是 CDF。
这是因为由 Myerson Lemma，有
感觉纯唐吧。
称 \(f\) 是 regular 的，如果其 virtual value function \(\psi\) 是严格增的。
Lec 5.
现在考虑多物品的场合。则此时的 outcome 是 \((x,p)\)，其中 \(x_i\) 是第 \(i\) 个 agent 获得的物品集合（确定性），\(p_i\) 是其为这整个集合支付的总价。每个人的 utility function 是对整个物品集合而非单个物品定义的（也即，其不具有加性）。
一个场合是多物品拍卖，但每个人只想要一个（零个或大于一个的集合的 utility 是零）。
[!NOTE]
这与 One-Sided Matching 有一定区别——此处我们希望最大化总 utility，但是 OSM 我们只要找到 DSE 即可。
一种想法是一个个卖东西，然后对于售卖的每个物品运行 second price strategy。这有两种场合：
- 所有人一开始即报告其出价，拍卖过程中不再更改。
- 所有人在每一轮开始时出价，后面的结果依靠前面的结果。
可以简单构造例子说明其都没有最大化 utility。
另一个场合是最短路博弈：一张有向图，图上的每条边有边权，是这条边的运营成本。边的所有者可以报一个出价，经过这条边的人要支付出价，这条边的所有者的获益即为出价-成本。现在有一个人要从起点到终点，所有边的所有人要如何报价才能最大化收益？这也是一个多物品的场合。
Groves Mechanism 是 direct mechanism，要求所有人如实汇报它们对获得物品集合的评价 \(v_i\)。则有
其中 \(h_i(\cdot)\) 是任意函数——但必须要仔细选择，不然就没有 individual rationality。
即，最终每个人收到的 \(x_i\) 是最大化总 utility 的 \(x_i\)。
[!TIP]
single item 的 second price auction 场合是一种 Groves Mechanism：对于最高出价者，有 \(\sum_{j\neq i}v_j(x_i)=0\)，所以直接令 \(h_i=\max\) 即可——而其它出价者二者抵消，可得其支付的价格为零。first price auction 不是 Groves Mechanism。
Groves Mechanism 是一种 IC 策略，因为对于第 \(i\) 个人，其收益为 \(\sum_jv_j(x_j)-h_i(v_{i'\neq i})\)，前者被最大化了，后者与其自身的策略无关。因此这将个人收益与 social welfare 挂钩了，于是自然知其是 IC 的。同时也自然得知 \(h\) 要是保证所有人的 IR。
所以就要修正为 Vickrey-Clarke-Groves 策略：有 \(h_i(v_{i'\neq i})=\max_y\sum_{j\neq i}v_j(y_j)\)。那么首先有 \(p_i=\max_y\sum_{j\neq i}v_j(y_j)-\sum_{j\neq i}v_j(x_j)\geq0\)（当然，这需要 \(v_i\geq0\)，因此在最短路博弈的场合该分析并不适用）于是有 designer rationality（designer 不需要掏钱来维持机制）；进一步可以证明 individual rationality，因为 \(u_i=\max_y\sum_iv_i(y_i)-\max_y\sum_{j\neq i}v_j(y_j)\geq0\)。
Free Market！
去中心化市场。此时卖方为每个物品明码标价。
如何定义 Equilibrium？使用 Walrasian Equilibrium：所有的 buyer 都不想购买其它东西代替；所有的 seller 都不想降价（这意味着所有未被售卖的物品的售价已经跌到零，降无可降了）。
形式化地，一个 outcome \((x,p)\) 处于 Walrasian Equilibrium，如果：
- 所有 \(x_i\) 两两不交。
- 有 \(v_i(x_i)-\sum_{j\in x_i}p_j\geq\max_{S\sube[m]}\left[v_i(S)-\sum_{j\in S}p_j\right]\)。
- 对于 \(\forall i:j\notin x_i\) 的 \(j\)，有 \(p_j=0\)。
如何达到这种 Equilibrium？首先考虑 unit-demand buyer 的场合，即所有人都只想要一个 item。此时定义 preferred items \(S_i\) 为收益最高的一批 item（可以有多个并列；可以不存在——如果所有物品对这个人而言都是负收益），preferred graph 是匹配的二分图，则有以下 ascending price mechanism：
- 初始全体 \(p_j=0\)。
- 找到一组 buyer \(S\)，其不满足 Hall 定理（即 \(|N(S)|<|S|\)）且 \(|S|\) 最小，然后将 \(N(S)\) 的所有售价全都增加 \(1\)。
- 重复直到找不到这样的 \(S\)。
首先其会在有限步内结束——因为售价总不会超过最高出价。
然后其会得到一个 WE。
维护一个满足所有售价非零的物品都有匹配，且一个 buyer 总会得到其 preferred items 之一的匹配。
初始售价全为零且匹配为空。
那么找到该最小 \(S\) 后，\(N(S)\) 的所有子集 \(T\) 都有 \(|N(T)\cap S|\geq T\)。
- 注意：此处的 \(S\) 与 \(N(S)\) 同侧，\(T\) 与 \(N(S)\) 同侧。
因为否则我们可以找到 \(S\setminus N(T)\) 作为一个更小的集合。于是进一步可知 \(|N(T)|\geq T\)。
所以使用 Hall 定理，即知可找到 \(N(S)\) 的完美匹配。于是对维护的匹配执行如下流程：
- 移除 \(S\) 的全体边（即 \(S\) 与 \(N(S)\) 间的边）
- 使用完美匹配将 \(N(S)\) 配对到 \(S\)。
- 提高 \(N(S)\) 中售价。这只会扩大 \(N(S)\) 的大小。
- 于是知新匹配仍然满足上述条件。
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