Lagrange 大战 Hamilton

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Km}{\operatorname{km}} \newcommand{\Cm}{\operatorname{cm}} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Gr}{\operatorname g} \newcommand{\Kg}{\operatorname{kg}} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\text} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c} \newcommand{\db}[1]{\dot{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\hb}[1]{\hat{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\mat}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \newcommand{\de}{\delta} \]

Lagrange 动力学的坐标是 \(q\)。它不一定是空间坐标，如同振动一样，它可以是一切量。同理，有动量 \(p\)。

\[\mat{ L(q,\dot q)=&T(q,\dot q)&-&V(q)& \\&\text{动能}&&\text{势能}& } \]

与能量有一个加减号的区别。

路径 (path) 是坐标关于时间的函数 \(q(t)\)。作用量 (action) 是关于路径的泛函

\[S[q(t)]=\int_0^tL[q(t),\dot q(t)]\d t \]

最小作用量原理 (Principle of Least Action)：

\[q_\t{actual}(t)=\arg\min_{q(t)}S[q(t)] \]

这是一个很高阶的思想。例如，使用动能的

\[L=\dfrac12m\dot q^2-V(q) \]

的定义，可以导出 Newton 第一定律。

因为没有外力，所以可以看做是势能处处为零。

现在，假设边界条件，即 \(q(t=0)\) 和 \(q(t=t_0)\) 已经确定。我们希望知道它走哪条路径。

\[S[q(t)]=\int_0^{t_0}\dfrac12m\dot q^2\d t \\\left(\int_0^{t_0}\dot q(t)\d t\right)^2\leq\left(\int_0^{t_0}\dot q(t)^2\d t\right)\left(\int_0^{t_0}1^2\d t\right) \]

但是，注意到 Cauchy 不等式成立，当且仅当 \(\dot q(t)/1\) 为常数，也即 \(\dot q(t)\) 是常数，速度不变。

于是知 Newton 第一定律。

考虑通用做法。

对于 \(q_\t{actual}\)，应有

\[\de S=S[q(t)+\de q(t)]-S[q(t)]=0 \]

而另一方面，又有

\[\de S=\int_0^{t_0}\de L\d t \\=\int_0^{t_0}\left[\dfrac{\p L}{\p q}\de q+\dfrac{\p L}{\p\dot q}\de\dot q\right]\d t \\=\int_0^{t_0}\left[\dfrac{\p L}{\p q}\de q-\left(\dfrac\d{\d t}\dfrac{\p L}{\p\dot q}\right)\de q\right]\d t-\left.\dfrac{\p L}{\p\dot q}\de q\right|_0^{t_0}&(\text{分部积分}) \]

注意到有 \(\de q(t=0)=\de q(t=t_0)=0\)。因此最后一项可以被扔掉。

\[=\int_0^{t_0}\left[{\color{red}{\dfrac{\p L}{\p q}-\left(\dfrac\d{\d t}\dfrac{\p L}{\p\dot q}\right)}}\right]\de q\d t \]

上式对于一切 \(\delta q\) 而言，均为 \(0\)。这仅可能发生于，红色部分恒为零。即所谓的

Euler-Laguange 方程：

\[\dfrac{\p L}{\p q}-\left(\dfrac\d{\d t}\dfrac{\p L}{\p\dot q}\right)=0 \]

现在，导出 Newton 第二定律。

此时，仍有 \(T=\dfrac12m\dot q^2\)。

\[\dfrac{\p L}{\p q}=-\dfrac{\d V}{\d q}=F \\\dfrac\d{\d t}\dfrac{\p L}{\p q}=\dfrac{\d}{\d t}m\dot q=m\ddot q \\F=m\ddot q=ma \]

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考虑一个进阶的问题：例如刚体问题，此时要满足某些额外的约束：例如，系统可能要满足 **完整性约束 **(holonomic constraints)，即可能需要满足在 \(f_\alpha(q_1,\dots,q_n)=0\) 的高维壳上，其中 \(\alpha=1,\dots,m\)；\(q_1,\dots,q_n\) 是坐标。

使用 Lagrange 乘子法，得到

\[q_\t{actual}=\arg\min_{q(t)}\max_{\mu_\alpha}\int_0^{t_0}\Big[{\color{red}{L-\sum_\alpha\mu_\alpha f_\alpha}}\Big]\d t \]

令红色部分为 \(L'\)，则有

\[\dfrac{\p L'}{\p q_i}=\dfrac{\p L}{\p q_i}-\sum_\alpha\mu_\alpha\dfrac{\p f_\alpha}{\p q_i} \\\dfrac{\p L'}{\p\dot q_i}=\dfrac{\p L}{\p\dot q_i} \\\dfrac{\p L'}{\p\mu_\alpha}=-f_\alpha(q_1,\dots,q_n) \]

于是有 受限 E-L 方程

\[\dfrac{\p L}{\p q_i}-\left(\dfrac\d{\d t}\dfrac{\p L}{\p\dot q_i}\right)-\sum_\alpha\mu_\alpha\dfrac{\p f_\alpha}{\p q_i}=0 \\f_\alpha=0 \]

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定义 扩展动量 (generalized momentum)

\[p=\dfrac{\p L}{\p\dot q} \]

则常规 E-L 方程变为

\[\dot p=\dfrac{\p L}{\p q} \]

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如果系统具有对称性，则推导会简单一些。

考虑某个有单一自由度的变换，其有 \(q_i(t)\to Q_i(s,t)\)，且 \(q_i(t)=Q_i(0,t)\)。称一个变换是关于 \(L\) 的连续对称，如果 Lagrangian 在该变换下不变。即，

\[\dfrac{\p}{\p s}L(Q_i(s,t),\dot Q_i(s,t))=0 \]

有 Noether 定理：每个连续对称都意味着对应的守恒量。

\[0=\dfrac\p{\p s}L=\sum_i\dfrac{\p L}{\p Q_i}\dfrac{\p Q_i}{\p s}+\dfrac{\p L}{\p\dot Q_i}\dfrac{\p\dot Q_i}{\p s} \\=\left.\Big(\sum_i\dfrac{\p L}{\p Q_i}\dfrac{\p Q_i}{\p s}+\dfrac{\p L}{\p\dot Q_i}\dfrac{\p\dot Q_i}{\p s}\Big)\right|_{s=0} \\=\sum_i\left.\dfrac{\p L}{\p q_i}\dfrac{\p Q_i}{\p s}\right|_{s=0}+\left.\dfrac{\p L}{\p\dot q_i}\dfrac{\p\dot Q_i}{\p s}\right|_{s=0} \\=\sum_i\left.\dfrac\d{\d t}\Big(\dfrac{\p L}{\p\dot q_i}\Big)\dfrac{\p Q_i}{\p s}\right|_{s=0}+\left.\dfrac{\p L}{\p\dot q_i}\dfrac{\p\dot Q_i}{\p s}\right|_{s=0} \\=\dfrac\d{\d t}\sum_i\left.\dfrac{\p L}{\p\dot q_i}\dfrac{\p Q_i}{\p s}\right|_{s=0} \]

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在 Lagrangian 中，我们有一个非常烦人的 \(\dot q\) 项。在 Hamiltonian 中，可以让它们对称掉。

\[\d L=\dfrac{\p L}{\p q}\d q+\dfrac{\p L}{\p\dot q}\d q \\=\dfrac{\p L}{\p q}\d q+p\d q \\\d(p\dot q-L)=\dot q\d p+p\d\dot q-\d L \]

因此，定义 Hamiltonian 为 \(H=p\dot q-L\)，则有

\[\dfrac{\p H}{\p p}=\dot q \\\dfrac{\p H}{\p q}=-\dot p \]

此乃 Hamilton 方程。这是好的，例如，当 \(q\) 为位移 \(p\) 为动量时，Hamiltonian 就是机械能，这一点与 \(E_k-V\) 的 Lagrangian 相比更加合理。

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考虑一个物理量 \(F=(q,p,t)\)。则有

\[\dot F=\dfrac{\p F}{\p t}+\sum\left(\dfrac{\p F}{\p q_i}\dot q_i+\dfrac{\p F}{\p p_i}\dot p_i\right) \]

• 注意，这个式子中，左侧的 \(\dot F\) 是把整个式子看做 \(F(q(t),p(t),t)\) 的一元含时函数后对时间求导，右侧的 \(\dfrac{\p F}{\p t}\) 是把它看成独立的多元函数 \(F(q,p,t)\) 然后对时间一维求导。下文中亦将多次使用 \(\dfrac{\d}{\d t}\) 和 \(\dfrac{\p}{\p t}\) 的记号，记得区分。

代入 Hamilton 方程，得到

\[\dot F=\dfrac{\p F}{\p t}+{\color{red}{\sum\left(\dfrac{\p F}{\p q_i}\dfrac{\p H}{\p p_i}-\dfrac{\p F}{\p p_i}\dfrac{\p H}{\p q_i}\right)}} \]

红色部分看起来很棒，它具有很好的反对称性。于是我们定义 Poission 括号

\[[F,G]=\sum\left(\dfrac{\p F}{\p q_i}\dfrac{\p G}{\p p_i}-\dfrac{\p F}{\p p_i}\dfrac{\p G}{\p q_i}\right) \]

也有 \(\{F,G\}\) 的记法。

则直接变成 \(\dot F=\dfrac{\p F}{\p t}+[F,H]\)。

这被看做是 扩展 Hamilton 方程。例如，把 \(F\) 代入 \(q_i\) 或 \(p_i\) 即得基础 Hamilton 方程。

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浅列一下 P-括号的性质。例如，当 \(p,q\) 的所有维数彼此独立时，即有

\[[q_i,q_j]=[p_i,p_j]=0,[q_i,p_j]=\delta_{ij} \\ [F,G]=-[G,F] \\ [F,F]=0 \\ [c_1F_1+c_2F_2,G]=c_1[F_1,G]+c_2[F_2,G] \\ [F_1F_2,G]=F_1[F_2,G]+F_2[F_1,G] \\ \dfrac{\p}{\p t}[F,G]=[\dfrac{\p F}{\p t},G]+[F,\dfrac{\p G}{\p t}] \]

还有一个所谓的 Jacobi Identity：

\[[F_1,[F_2,F_3]]+[F_2,[F_3,F_1]]+[F_3,[F_1,F_2]]=0 \]

如果 \([F,G]=0\)，则称之为 交换 (commute) 的。

Poission 定理：守恒量的 Poission 括号亦守恒。

\[{\color{red}{\dfrac{\d}{\d t}[F_1,F_2]}}=\dfrac{\p}{\p t}[F_1,F_2]+[[F_1,F_2],H] \\=[\dfrac{\p F_1}{\p t},F_2]+[F_1,\dfrac{\p F_2}{\p t}]+[F_1,[F_2,H]]+[F_2,[H,F_1]] \\=[\dfrac{\p F_1}{\p t}+[F_1,H],F_2]+[F_1,\dfrac{\p F_2}{\p t}+[F_2,H]] \\={\color{red}{[\dot F_1,F_2]+[F_1,\dot F_2]}} \\=0 \]

• 红色部分其实是更广泛的结果。

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分析 Hamilton 力学的最佳体验是在所谓的 相空间 (phase space) 下，其中的每个 相点 (phase point) \((q,p)\) 对应着系统的一个态。相空间中的一条 轨迹 (trajectory) 对应着系统的一种衍化方案，其可以被 \(\dot x=X(x,t)\) 描述，其中 \(X\) 是 Hamilton 方程确定的函数。

假如 Hamiltonian 不显含时（\(\dfrac{\p H}{\p t}=0\)），则有 \(\dot x=X(x)\)，此时所有轨迹不交；此外，由 \(\dot H=\dfrac{\p H}{\p t}+[H,H]=0\) 知，Hamiltonian 守恒。

相空间中 \(\dot x=0\) 的点是 平衡点 (equilibrium point)。平衡点邻域中的 \(|\dot x|\) 很小，因此趋于平衡态的时间需要无穷，这导出不会有经过平衡点的轨迹。