天上天下唯我独尊

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Km}{\operatorname{km}} \newcommand{\Cm}{\operatorname{cm}} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Gr}{\operatorname g} \newcommand{\Kg}{\operatorname{kg}} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\text} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c} \newcommand{\db}[1]{\dot{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\hb}[1]{\hat{\boldsymbol{#1}}} \]

变质量系统

考虑一个系统，其质量关于时间的关系是 \(m(t)\)，速度关于时间是 \(\b v(t)\)。在 \(\d t\) 的时间内，有质量为 \(\d m\) 的物体，原速度是 \(\b v'\)，进入系统后，和原本的质量一同，速度被强制修改为 \(\b v+\d\b v\)。系统受外力 \(\b F(t)\)，则满足动量定理

\[\b F\d t=(m+\d m)(\b v+\d\b v)-m\b v-\d m\cdot\b v' \\m\dot{\b v}=\b F+(\b v'-\b v)\dot m \]

这个方程被称作 Meshchersky 方程，其描述了变质量系统的基本模式。一个最简单的应用该定理的场合是提绳。

这个系统中会有新质量不断引入并被牵引为相同速度。另一种系统是火箭系统，质量不断被以相对速度 \(-\b u\) 抛出。则有

\[\b F\d t=(m+\d m)(\b v+\d\b v)-(-\b u+\b v)\d m-m\b v \\=m\d\b v+\b u\d m \\m\dot{\b v}=\b F-\b u\dot m \]

---

Meshchersky 方程导出的结果同能量法导出的结果不符。火箭系统的场合，事情很明显：以相对速度 \(\b u\) 抛出本身是消耗火箭化学能的。然而提绳系统呢？事情是同理的：将物体从 \(\b v'\) 速度强制修改为 \(\b v\)，本身是类似完全非弹性碰撞、消耗能量的。从另一个角度来说，把提绳系统关于时间反演，就是火箭系统。既然火箭系统消耗化学能（总机械能增加），那么提绳系统就应该有总机械能的减少。

火箭系统

火箭系统在在无重力环境下，可以认为 \(F=0\)。则有

\[\dot{\b v}=-\dfrac{\b u}m\dot m \]

关于时间积分得到

\[\b v_f-\b v_i=\b u\ln(m_i/m_f) \]

或者

\[\b v_f=\b v_i+\b u\ln(m_i/m_f) \]

令 \(R\) 为该比值（起始比终止），则有 \(\b v_f=\b v_i+\b u\ln R\)。其与飞行时间无关，只与起讫态有关。

在恒重力 \(F=-gm\) 的环境下，有

\[\db v=-\dfrac{\b u}m\dot m-g\hb z \\v_f=v_i+u\ln(m_i/m_f)-gt=u\ln R-gt \]

这是合理的，因为速度导数满足的微分方程与速度无关，所以重力的影响可以直接被线性叠加上去。

提绳问题

提绳的场合，若初速为 \(0\)、绳线密度为 \(\lambda\)，则

\[\\m\dot v=F-v\dot m \\F=\dfrac{\d}{\d t}(mv)=\dfrac{\d x}{\d t}\dfrac{\d}{\d x}(mv)=v\dfrac{\d(mv)}{\d x} \\mF\d x=mv\d(mv) \\\dfrac12x^2\lambda F=\dfrac12x^2\lambda^2v^2 \\F=\lambda v^2 \]

这里的 \(F\) 是合力。

双体系统

双体系统有众多有趣的性质。首先，一个通用的分析模型是在质心系视角下处理。其次，对于系统中某一段无外力作用的时段，可以使用碰撞分析，还可以使用角动量。

质心系视角

两个物体 \(m_1,m_2\) 分别受力 \(\b F_1,\b F_2\)（计入相对作用力）。则

\[\b F_\t{ext}=\b F_1+\b F_2 \]

在质心系中，两物体受到额外力

\[\bar{\b F}_1=-m_1\b a_c=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}(\b F_1+\b F_2) \\\bar{\b F}_2=-m_2\b a_c=-\dfrac{m_2}{m_1+m_2}(\b F_1+\b F_2) \]

于是有质心系下合力与质心系加速度间的关系

\[\b F_1'=\bar{\b F}_1+\b F_1=\dfrac{m_2\b F_1-m_1\b F_2}{m_1+m_2}=m_1\b a_1' \\\b F_2'=\bar{\b F}_2+\b F_2=\dfrac{m_1\b F_2-m_2\b F_1}{m_1+m_2}=m_2\b a_2' \]

注意到质心系下二者是等大反向的。

因此通过令等效位矢 \(\b r'=\b r'_1-\b r'_2\)，则相应有

\[\b v'=\b v_1'-\b v_2' \\\b f=\b F_1'=-\b F_2' \\\b a'=\b a'_1-\b a'_2=(\dfrac1{m_1}+\dfrac1{m_2})\b f \]

因此，可以将双体问题转化为：

• 一个 COM 的运动。
• 一个拥有等效 约化质量 \(\dfrac1{m'}=\dfrac1{m_1}+\dfrac1{m_2}\) 的相对位移 \(\b r'\)，其受力 \(\b f=m_1\b a'_1=-m_2\b a'_2=m'\b a\)，具有相应的速度矢量 \(\b v'\) 和加速度矢量 \(\b a'\)。

知道相对速度 \(\b v'\) 后，可以由 \(m_1\b v_1'+m_2\b v_2'=0\) 解出 \(\b v_1'=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\b v',\b v_2'=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\b v'\)，进而由约化系转回质心系。

注意，在二体运动的场合，两个物体的真实运动轨迹是绕质心相向而行。因此，如果我们想分析其受力等信息时，确实有

\[F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2} \]

但是没有 \(F=m_2\omega^2r\)，因为真实的 \(r\) 应该是到质心的距离而非二者间距。因此，此处应该把距离换成约化距离，当然也可以把 \(m_2\) 换成约化质量 \(m'\)：因为二者都是一次项，所以约哪个都可以。

据 Koenig 定理，总动能等于质心系动能加上质心动能，而质心系动能可以简单使用相对速度和约化质量描述：

\[E^\t{com}_k=\dfrac12(m_1v_1'^2+m_2v_2'^2) \\=\dfrac12(m_1\cdot(\dfrac{m_2}{m_1+m_2})^2+m_2\cdot(\dfrac{m_1}{m_1+m_2})^2)v'^2 \\=\dfrac12m'v^2=E^\t{rel}_k \]

即质心系动能等于约化系动能，这是对二体问题使用质心系的一个好理由。

事实上，质心系最本质的一点是因为其拥有最完善的对称性。

小行星坠落

质量相对于恒星忽略不计的小行星自无穷远飞入系统。则可以把恒星系看做惯性系，小行星此时仅受向心力，角动量守恒，因此最近点处的动能、重力势能满足

\[mv_1R=mv_fh \\\dfrac12mv_1^2-\dfrac12mv_0^2=0+\dfrac{GMm}{R} \]

的关系，由此可以解出近日点。

弹弓效应

现在假设在惯性系下，恒星、小行星分别以速度 \(u,v\) 相向而行，则小行星的末速度会是 \(v+2u\)。这是因为，恒星系下小行星的速度其实是 \(u+v\)，则能量守恒会知其返回速度亦是 \(u+v\)，再叠加 \(u\) 就是 \(v+2u\)。

碰撞

碰撞的场合，因为外力不做功，质心动能是守恒的，变化的只有约化动能，而因为约化质量不变，所以只关心相对速度 \(\b v'\)。

这直接导出结论，质心系下一维弹性碰撞 时，因为约化动能守恒，所以只可能是相对速度反向。而非弹性碰撞时，令恢复系数为 \(e\)，则有 \(\b v'_f=-e\b v'_i\)，由此可以再复原为两者的质心系速度，进而再复原为实验系速度。

注意，回复系数为 \(1\) 并不意味着能量一定守恒：在垂直方面可能会有摩擦力的影响。

特别地，一切 无外力 的 双体运动 都可以被等效于碰撞。因此，天体运动（如 sling shot）等都可以被当作是碰撞处理。然而，在前述场合，因为一个天体的质量很大，所以质心系与之重合，因此直接按照中心天体系做即可。

二维碰撞的场合，输出有四个自由度（两个物体在 \(x,y\) 二维上分别的速度）但是约束只有三维（\(x,y\) 二维动量守恒以及能量关系），因此单凭初始信息必然不可能唯一确定输入。不过，如果系统具有一定程度的对称性（例如可以判断冲量方向），则可以多列一个冲量方程解出来。除此之外，还可以通过知道任何角度来提高对自由度的约束。

特别地，如果二维碰撞是等质量质点弹性碰撞，且有一者原本是静止的，则有

\[v_{1,i}=v_{1,f}+v_{2,f} \\v_{1,i}^2=v_{1,f}^2+v_{2,f}^2 \\v_{1,i}^2=v_{1,f}^2+v_{2,f}^2+2\b v_{1,f}\cdot\b v_{2,f} \\\b v_{1,f}\cdot\b v_{2,f}=0 \]

即终速会垂直。特别地，如果是一维碰撞，则碰撞后原本运动的会停止，原本停止的会以原速运动，这与一维等质量弹性碰撞的结论（二者交换速度）相同。

Bernoulli 方程

恒流场中不可压缩的流体，处处均满足 \(v_1A_1=v_2A_2\)，其中 \(A\) 是考察的截面，\(v\) 是通过截面的流速。

在 \(\Delta t\) 时间内通过截面的流体，机械能分别为

\[E_1=\dfrac12mv_1^2+mgh_1,E_2=\dfrac12mv_2^2+mgh_2 \]

唯一做功者是压力，而 \(W_1=p_1V,W_2=-p_2V,W_1+W_2=\Delta E\)。于是有

\[p_1V+\dfrac12mv_1^2+mgh_1=p_2V+\dfrac12mv_2^2+mgh_2 \\pV+\dfrac12mv+mgh=\text{Const} \\\dfrac p{\rho g}+\dfrac v{2g}+h=\text{Const} \]

对比：刚体系统・普通系统

普通系统可以建立一个 参照点，根据这个参照点，所有质点的运动可以各自拆分出 独立 的 角速度，角速度就有与之同向的 角动量，系统不变时角动量只与参照点相关。

另一方面，刚体系统可以定义 统一 的角速度向量 \(\b\omega\)，它对系统中的每一个质点均相同。同时，可以定义一根转轴——但是只有当转轴与角速度平行时，该转轴是有意义的。

转轴的意义在于可以定义转动惯量 \(I=\int r^2\d m\)，其中 \(r\) 是到转轴的距离。此时，当参照点放在转轴上时，沿转轴 方向的角动量 \(\b L_z=I\b\omega\)。但是注意，当系统不具有关于转轴的对称性时，角动量可以不沿系统角速度，因此上式只在刻画 \(\b L_z\)。

使用转动惯量可以定义一个似乎没啥用的 回旋半径 \(\bar R=\sqrt{I/m}\)。从刚体的角度，似乎所有质量都分布于回旋半径上。

摆

扭力摆

扭力摆 (torsion pendulum) 从稳态出发旋转 \(\theta\) 后，会有一个 \(\tau=-\kappa\theta\) 的扭矩，因此摆会作一个 角简谐运动 (angular SHE)，有 \(\omega=\sqrt{I/\kappa}\)。

单摆

单摆满足 \(-l(mg\sin\theta)=I\alpha\)，使用一阶近似得到

\[\alpha=-\dfrac{mgl}I\theta \\\omega=\sqrt{mgl/I} \]

因为是单摆，所以直接有 \(I=ml^2\)，于是

\[\omega=\sqrt{g/l} \]

复摆（物理摆）

复摆 (physical pendulum) 的摆是刚体，不能当作质点。关于悬点 \(O\) 建立参考系，令刚体质心为 \(C\)，质心与悬点距离为 \(l\)，则重力势能

\[U=mgl(1-\cos\theta)\approx\dfrac12mgl\theta^2 \]

从扭矩的角度，同样有

\[\omega=\sqrt{\dfrac{mgl}I} \]

对比单摆周期公式，可以发现复摆相当于摆长为 \(l_0=I/ml\) 的单摆，\(l_0\) 被称为复摆的 等值摆长。

注意，这里 \(l\) 虽然在分母上，但是分子 \(I\) 会关于 \(l\) 平方增长，因此距离 \(l\) 增长，\(l_0\) 同样会以接近正比的速率增长。进一步，由平行轴定理，有 \(I=I_C+ml^2\)，因此有 \(l_0=l+I_C/ml\)，或

\[\dfrac{I_C}{ml(l_0-l)}=1 \]

这表明，\(l\) 和 \(l_0-l\) 的地位是可以对调的：把复摆悬挂在 \(l_0-l\) 处，得到的周期相同。

刚体平面平行运动

瞬心

刚体平面平行运动可以分解为质心运动和绕质心的转动，二者方程分别为

\[\b F^\t{ext}=m\b a^\t{com} \\\b\tau^\t{ext}=I^\t{com}\b\alpha \]

任何瞬时，平面平行运动刚体平面上都有一点 \(O'\)，其速度 \(\b v_{O'}=0\)，该点被称为刚体的 瞬时转动中心 或 瞬心。无滑动滚动的物体，与平面的接触点即为瞬心，须有 \(v^\t{com}=\omega r^\t{com}\)。

若已知质心速度 \(\b v^\t{com}\) 和角速度 \(\b\omega\)（这一向量无论以何处为参考点均相同），则瞬心 \(O'\) 在与 \(\b v_C\) 垂直且距 \(v^\t{com}/\omega\) 处；若已知同一时刻两点速度的方向，则作它们垂线交点也可得瞬心。

瞬心系角动量定理

从惯性系 R 转化为 \(O'\) 系 R' ，角动量的变化为

\[\b L'^\t{sys}=\b L^\t{sys}-\b r^\t{com}\times\b p_0-\b r_0\times\b p^\t{sys}+\b r_0\times\b p_0 \]

其中 \(\b r_0\) 为 R 系中 \(O'\) 的位置，\(\b p_0=m\b v_0\)。

对时间求导得到

\[\dot{\b L}'=\dot{\b L}-\b v^\t{com}\times\b p_0-\b r^\t{com}\times m\b a_0-\b v_0\times m\b v^\t{com}-\b r_0\times m\b a^\t{com}+\b r_0\times m\b a_0 \]

• 为什么此处不直接一步到位把 \(\dot{\b L}\) 换成 \(\b\tau\)？因为尚未排除外力！

但是因为 \(O'\) 为瞬心，有 \(\b v_0=\b0\)，且可以选择惯性系原点与瞬心重合使得在瞬间有 \(\b R=\b0\)（我们只在意瞬时运动），得到

\[\dot{\b L}'=\dot{\b L}-\b r^\t{com}\times m\b a_0 \]

瞬心 \(O'\) 的瞬时参考系是非惯性系，系统受到非惯性力 \(\b f^\t{ine}=-m\b a_0\)；同时考虑到 R' 系和 R 系的原点在瞬时重合，有 \(\b\tau^\t{ext}=\b\tau'^\t{ext}\) 因此上式整理后得到

\[\b\tau'^\t{ext}+\b r'^\t{com}\times\b f^\t{ine}=\dot{\b L}' \]

此乃 瞬心系角动量定理。

特别地，如果瞬心加速度和质心位矢 \(\b r'^\t{com}\) 共线，例如平面上无滑动滚动的轮子，则二者叉积一项可以直接忽略。

动能

由 Koenig 定理，有

\[E_k=\dfrac12m(v^\t{com})^2+\dfrac12I^\t{com}\omega^2 \]

总结

平面平行运动的方法论无非两种：选取质心为参考系，或选取瞬心为参考系。

例如，考虑将质量为 \(m\) 的长杆用细绳从两端水平悬挂，一根细绳突然被剪断，求另一根绳的瞬时张力。

令杆长 \(2l\)，则有

质心系：满足 \(mg-T=ma,Tl=\dfrac13ml^2\beta\)。再带上瞬心信息，得到 \(a-\beta l=0\)，解得 \(T=\dfrac14mg\)。

瞬心系：不好做，因为张力在瞬心系中没有影响，就算在瞬心系中解出角加速度还是要回归质心系的。

例如，考虑半径为 \(r\)、总质量为 \(m\) 的圆环在距顶端 \(60^\circ\) 处固定一个质量 \(m\)，自静止释放该圆环（作业题）。

质心系：太不牛了，因为支持力不好算。

瞬心系：还算牛一点，但是问题是要考虑惯性力哦。

瞬时瞬心系（只考虑一瞬间的瞬心）：记得考虑向心力即可。

最好的做法还是惯性系下能量法。

因为接触点静止，所以有 \(v^\t{com}=r\dot\theta\)。质点的速度是水平 \(v^\t{com}\) 与切向 \(r\dot\theta\) 的叠合，

\[\begin{matrix} \dfrac32mgr=mgr(1+\cos\theta)&+\dfrac12m(r\dot\theta)^2&+\dfrac12mr^2\dot\theta^2&+\dfrac12m(2r\dot\theta\cos\dfrac\theta2)^2 \\&\text{环平动动能}&\text{环转动动能}&\text{质点动能} \end{matrix} \]

由此解出 \(\dot\theta=f(\theta)\) 后，即可进一步表示出 \(\ddot\theta=g(\theta)\)。

但是，如果总是在那里研究这个那个参考系，那才是真的走上邪路了。正道无非是：

• 能量守恒。
• 角动量守恒。
• 动量守恒。
• 接触点。

这四条提供所有约束然后解。

简谐运动

定义

任意满足 \(x=A\cos(\omega t+\phi_0)\) 的量 \(x\) 都被称为处于 简谐运动 (Simple Harmonic Motion) 中。\(A\) 是 振幅 (amplitude)，\(\omega\) 是 角频率 (angular frequency)，\(\phi_0\) 是 初相位 (initial phase)，\(\phi=\omega t+\phi_0\) 是 相位 (phase)，\(T=2\pi/\omega\) 是 周期 (period)，\(f=1/T=\omega/2\pi\) 是 频率 (frequency)。

运动学方程

\[\dot x=-\omega A(\cos\omega t+\phi_0)=\omega A\cos(\omega t+\phi_0+\pi/2) \\\ddot x=\omega^2A\cos(\omega t+\phi_0+\pi) \]

特别地，

\[\ddot x+\omega^2x=0 \]

是简谐运动的特征方程：简谐运动都是这个微分方程的解。

动力学方程

假设这个量是位移（一般而言，它也可以不是位移），则可以列动力学方程

\[F=-m\omega^2x \]

这意味着，力需要是一个 回复力 (restoring force)。令 \(k=m\omega^2\)，则它就是一个

\[F=-kx \]

的 Hooke 定律式。

从另一角度说，假如系统中的力满足 Hooke 定律，则可以直接写出

\[\omega=\sqrt{k/m} \]

能量

回复力是保守力。这意味着可以定义势能 \(U=\dfrac12kx^2\)，则有

\[U=\dfrac12kA^2\cos^2(\omega t+\phi_0) \\K=\dfrac12m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\phi_0) \]

考虑到 \(k=m\omega^2\)，因此直接得到

\[E=\dfrac12kA^2 \]

的能量守恒式。

事实上，一切满足

\[\dfrac12m\dot q^2+\dfrac12kq^2=E \]

守恒的系统，都可以立刻得知其以

\[\omega=\sqrt{k/m} \]

的角频率作简谐运动。

进一步，考虑 \(E(q,\dot q)=\dfrac12m\dot q^2+U(q)\) 的系统，令 \(q_0\) 是极小值点（\(U'(q_0)=0,U''(q_0)>0\)），则有其是稳定点，且给予小扰动后，由 Taylor 展开知

\[E\approx\dfrac12m\dot q^2+\dfrac12U''(q_0)\cdot(q-q_0)^2 \\\omega\approx\sqrt{k/U''(q_0)} \]

同频叠加

考虑力 \(F_1\) 引起 SHM \(x_1=A_1\cos\omega t\)，\(F_2\) 引起 SHM \(x_2=A_1\cos(\omega t+\phi)\)，则 \(F_1+F_2\) 引起什么？

答曰：\(x=x_1+x_2\)。不喜欢辅助角公式？直接把 \(F_i\) 看做辐角为 \(\phi_i\)、模长为 \(A_i\) 的向量，然后叠合就是向量相加。

同幅叠加

\[x_1=A\cos(\omega_1 t) \\x_2=A\cos(\omega_2t) \\x=x_1+x_2={\color{turquoise}{A\cos\left(\dfrac{\omega_1-\omega_2}2t-\dfrac\phi2\right)}}\cos\left(\dfrac{\omega_1+\omega_2}2t+\dfrac\phi2\right) \]

这可以被看做一个振幅随时间而变的简谐振动（而其自身不再简谐）。当 \(\omega_1-\omega_2\ll\omega_1+\omega_2\) 时，振幅改变很慢，短时间内它就像一个 SHM 一样。振幅随时间的变化被称作 拍振现象 (beat phenomenon)。

垂直叠加

考虑满足 \(x=A\cos(\omega_xt),y=B\cos(\omega_yt+\phi)\) 的二维运动。

同频垂直叠加

如果 \(\omega_x=\omega_y=\omega\)，则它们刻画的曲线满足

\[\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}-\dfrac{2xy\cos\phi}{AB}=\sin^2\phi \]

是倾斜轴线椭圆曲线。

在无相位差，即 \(\phi=0\) 时，上式退化为线段 \(y=\dfrac BAx\)。

在半相位差，即 \(\phi=\pi/2\) 时，退化为标准椭圆曲线 \(\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}=1\)。

异频垂直叠加

如果频率不等，但是比值是有理数，则是所谓的 Lissajous 曲线，在水平和垂直方向经历不同的周期。

阻尼振动

受到一个正比于速度 \(v\) 的 阻尼力 (damping force)。将其化为

\[\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0 \]

的标准式后，使用特征根法解得 \(\lambda_\pm=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\)，通解即为

\[x=C_-\exp(\lambda_-t)+C_+\exp(\lambda_+t) \]

欠阻尼

\(\beta<\omega_0\) 时是 欠阻尼 (underdamping)。解化为

\[x=A\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\phi) \]

振幅是指数衰减的。

过阻尼

\(\beta>\omega_0\) 时是 过阻尼 (overdamping)。此时，阻尼力过大，系统无法震荡，单纯类指数衰减。

临界阻尼

\(\beta=\omega_0\) 时是 临界阻尼 (critical damping)，此时解为

\[x=\exp(-\beta t)(c_1+c_2t) \]

总结

临界阻尼时，恢复到稳态（能量衰减）的速度最快。

欠阻尼时，因为 \(E\propto A^2\)，所以有 \(E=\dfrac12k A^2\exp(-2\beta t)\)，即欠阻尼时能量指数衰减。

受迫振动

在阻尼振动中，如果还有一个简谐变化的 驱动力 (driving force) \(F=F_0\cos(\omega t)\) 呢？即，

\[F_0\cos(\omega t)-kx-b\dot x=m\ddot x \]

将其化为标准式

\[\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=f\cos(\omega t) \]

其解为

\[x=A\cos(\omega t+\phi) \]

其中

\[A=\dfrac f{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}} \\\tan\phi=\dfrac{2\beta\omega}{\omega^2-\omega_0^2} \]

可以发现，受迫振动的频率等于驱动力的频率；且，当驱动力的振幅 \(f\) 固定时，受迫振动的最大振幅 \(A\) 在 \(\omega_0=\omega\) 时取得。\(\omega_0\) 是 固有频率，当驱动频率等于固有频率时是 共振 (resonance)。

波

定义

横波 (transverse wave) 是振动垂直于传播方向的波，有

\[y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi) \]

其中，\(A\) 是振幅，\(kx-\omega t+\phi\) 是相位。波长 (wavelength) \(\lambda=2\pi/k\)，而 \(k\) 被称作 角波数 (angular wave number)。

波速

波的 相速度 (phase velocity) 是不同时刻具有相同相位的点的移动速度。具体而言，应有

\[kx_1-\omega t_1+\phi=kx_2-\omega t_2+\phi \\\dfrac{x_1-x_2}{t_1-t_2}=\dfrac\omega k=:v \]

波速只与传播介质有关，这包括两方面的参数：影响动能的质量，和影响势能的弹性。

考虑绳振动：令线密度为 \(\mu\)，张力为 \(\tau\)。采取与波传播平齐的参考系，此时绳会前后移动。对于 \(\Delta l\) 的一段，张力会对这段产生切向的 \(\tau\) 影响。所有段间的波向张力抵消了，而垂直波的张力有

\[F=2\tau\sin\theta\approx\tau\dfrac{\Delta l}R \]

其中 \(R\) 是曲率半径。在绳子到达最大振幅的场合，有

\[\tau\dfrac{\Delta l}R=(\mu\Delta l)\cdot\dfrac{v^2}R \\v=\sqrt{\tau/\mu} \]

能量

单位动能

\[\d K=\dfrac12u^2\d m \]

其中

\[u=\dfrac{\p y}{\p t}=-\omega A\cos(kx-\omega t+\phi) \\\d K=\dfrac12\omega^2A^2\cos^2(kx-\omega t+\phi)\d m \]

关于时间平均后得到

\[\Big(\dfrac{\d K}{\d x}\Big)_\t{avg}=\dfrac14\mu\omega^2A^2 \]

弹性势能同理，且具有相同密度。综上，有

\[\Big(\dfrac{\d E}{\d x}\Big)_\t{avg}=\dfrac12\mu\omega^2A^2 \]

同理，动能与时间的关系

\[\dfrac{\d K}{\d t}=\dfrac12\mu v\omega^2A^2\cos^2(kx-\omega t+\phi) \\\Big(\dfrac{\d K}{\d t}\Big)_\t{avg}=\dfrac14\mu v\omega^2A^2 \]

势能同理，于是有能流密度

\[P_\t{avg}=\dfrac12\mu v\omega^2A^2 \]

波动方程

考虑一段略微偏移波传播方向的绳微元 \(\d m\)。其左端张力 \(F_1\)、右端张力 \(F_2\)。则有

\[F_{2y}-F_{1y}=a_y\d m \]

令左端切线斜率 \(k_1\)，右端切线斜率 \(k_2\)，二者均很小，则有

\[F_{1y}=\dfrac{k_1}{\sqrt{1+k_1^2}}\approx k_1\tau \\F_{2y}\approx k_2\tau \\\d m=\mu\d l\approx\mu\d x \\k_2\tau-k_1\tau=(\mu\d x)\ddot y \\\dfrac{\d k}{\d x}=\dfrac{\mu}{\tau}\ddot y \]

考虑到 \(k=\dfrac{\d y}{\d x}\)，有

\[\dfrac{\p^2 y}{\p x^2}=\dfrac\mu\tau\dfrac{\p^2y}{\p t^2} \]

回忆起 \(v=\sqrt{\tau/\mu}\)，有

\[\dfrac{\p^2 y}{\p x^2}=\dfrac1{v^2}\dfrac{\p^2y}{\p t^2} \]

此乃 波动方程 (wave equation)。

叠加

同频、同波长、同向、同幅波，也就是仅有相位不同的波，叠加得到

\[y_1=A\cos(kx-\omega t) \\y_2=A\cos(kx-\omega t+\phi) \\y=y_1+y_2=2A\cos\dfrac12\phi\cos\Big(kx-\omega t+\dfrac12\phi\Big) \]

使用复方法，可以被扩展到异幅的场合。

异向波叠加会形成 驻波 (standing wave)，驻波存在永远不动的 节点 (nodes) 和变化幅度最激烈的 反节点 (antinodes)。

驻波的方程可以写成

\[y_1=A\cos(kx-\omega t) \\y_2=A\cos(kx+\omega t) \\y=y_1+y_2=2A\cos kx\cos\omega t \]

与定义中提到的 行波 (traveling wave) 是两种不同的波。

反射

在行波传播到绳尽头时：

• 如果尽头是固定的，则会反射一个反向的波回来，且尽头会是一个节点，此乃硬反射。
• 如果尽头是活动的，即尽头是可以在杆上滑动的环，则尽头会是一个反节点，此乃软反射。

因此，由此形成的驻波的波长可以是 \(\lambda=2l/n\)，其中 \(n\) 是整数而 \(l\) 是弦长，对应的 共振频率 即为 \(f=v/\lambda=nv/2l\)。

最低频的共振频率 \(v/2l\) 被称为 基谐模式 (fundamental mode)。

Doppler 效应

如果声源或接收者在移动，则释放频率 \(f\) 与接收频率 \(f'\) 满足关系

\[f'=f\dfrac{v\pm v_D}{v\pm v_S} \]

其中，\(v\) 是波的群速度，\(v_D\) 是观测者相对介质的速度，\(v_S\) 是声源相对介质的速度。此乃 Doppler 效应。如果二者在靠近，则频率会上升，否则频率会下降，由此可以判断符号。

但是，如果声源速度 \(v_S\) 超过了波速 \(v\)，此乃 超音速 (supersonic)，会产生 激波 (shock wave)，激波的包络面呈现所谓的 Mach 锥。Mach 锥的旋转角 \(\theta\) 满足 \(\sin\theta=\dfrac v{V_S}\)。

Huygens 原理

当假设光是波时，Huygens 原理 可以帮助我们在已知 波前 (wavefront) 的场合，推测未来的波前。

具体而言，原波前上的每一点都会被当成新的波源，产生次级的球面波，被称作 小波 (wavelets)。通过把小波的波前重叠，可以得到对未来波前的推测。