波导之力，存乎我心

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c} \]

高频电容

为圆盘电容器两端加诸驱动电压

\[E_1=E_0\exp(\i\omega t) \]

其将引起磁场

\[B_0=\dfrac{\i\omega r}{2c^2}E_0\exp(\i\omega t) \]

这个磁场反过来引起电场

\[E_2=-\dfrac{\omega^2r^2}{4c^2}E_0\exp(\i\omega t) \]

其又将引起磁场……

累计修正得到

\[E=E_0\exp(\i\omega t)\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(\omega r/2c)^{2i} \]

这个级数是所谓的 Bessel 级数

\[J_0(x)=\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(x/2)^{2i} \]

于是有

\[E=E_0\exp(\i\omega t)J_0(\omega r/c) \]

圆柱空腔谐振器

如果在 Bessel 函数的零点处围一圈导体，因为零点处始终没有电场，所以就算用导体让两极板短路也不会有任何影响，于是就有一个理想导体盒子内部可以有自发不停振的电磁场，此乃空腔谐振器。

矩形空腔谐振器

在无自由电荷和电流（远场）的场合，电场和磁场都满足方程 \(\nabla^2\b E=\dfrac1{c^2}\ddot{\b E},\nabla^2\b B=\dfrac1{c^2}\ddot{\b B}\)。倘若假设电磁场都是时谐波 \(\b E(x,y,z,t)=\b E(x,y,z)\exp(\i\omega t)\)，则其化为 Helmholtz 方程

\[\nabla^2\b E+k^2\b E=\b0 \]

其中 \(k=\omega/c\) 定义为波数。Helmholtz 公式搭配上无源公式 \(\nabla\cdot\b E=0\) 和边界条件，是全体远场时谐波的充要条件。

对于 \(\b E\) 的某一维 \(E_x\)，假设其三维独立，即有 \(E=X(x)Y(y)Z(z)\) 的形式，得到 \(X''/X+Y''/Y+Z''/Z+k^2=0\) 的形式。于是可以拆成三个独立方程 \(X''/X+k_x^2=0\)。（符号问题单独讨论可知只有一侧符号成立）。根据边界条件（电磁场的界面连续性）得到通解

\[\begin{cases} E_x(z,y,z)=A\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a} \\k_y=\dfrac{n\pi}{b} \\k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2 \end{cases} \]

根据 \(\nabla\cdot\b E=0\) 处处成立得到 \(E_x,E_y,E_z\) 三方向频率须协调，且不止需要协调还要满足额外公式，最终得到

\[E_x=A_x\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\E_y=A_y\sin k_xx\cos k_yy\sin k_zz \\E_z=A_z\sin k_xx\sin k_yy\cos k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a},k_y=\dfrac{n\pi}{b},k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\omega^2/c^2 \\A_xk_x+A_yk_y+A_zk_z=0 \]

以上公式完美刻画了一个时谐独立电场。其对应的频率是 \(\omega_{mnp}\)。\(m,n,p\) 中至多只能有一维为零，否则易知整个电磁场就不存在了。

不妨假设矩形空腔在 \(y\) 维的长度最短（为什么是 \(y\) 维？因为我们认为 \(z\) 维是较为特殊的一维：TE 波满足 \(E_z=0\)，TM 波满足 \(B_z=0\)，TEM 波二者皆有），此时对应的 \(\omega_{101}\) 即为 TE101 模式

\[E_y=A_y\sin\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\B_x=-\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi c\sin\dfrac xa\pi\cos\dfrac zc\pi \\B_z=\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi a\cos\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\E_x=E_z=B_y=0 \]

波导

波导：沿着 \(z\) 轴截面不变的中空金属筒。

波导分析时，不适宜用磁感应强度 \(\b E\)，而是用磁场强度 \(\b H\)。有 \(\b B=\mu\b H\)。

将电场分割为沿波导方向（\(z\)）方向的电场和垂直波导方向的电场。则有

\[\bar{\b E}(x,y,z)=(\bar{\b e}(x,y)+e_z(x,y)\hat z)\exp(-\j\beta z) \]

其中，\(\b e(x,y)\) 是垂直波导 (transverse，横) 分量，\(e_z(x,y)\) 是沿波导 (longitudinal，纵) 分量。\(\b H\) 同理。\(\bar{\b E}\) 上面的 bar 意为这其实是振幅，若要化成真实波要乘以一个 \(\exp(\j\omega t)\)。此时 Maxwell 方程修正为

\[\nabla\times\bar{\b E}=-\j\omega\mu\bar{\b H} \\\nabla\times\bar{\b H}=\j\omega\vare\bar{\b B} \]

将其六维分别拆开来，得到六个方程。解一大坨后，得到

\[H_x=\dfrac\j{k_c^2}\left(\omega\vare\dfrac{\p E_z}{\p y}-\beta\dfrac{\p H_z}{\p x}\right) \\H_y=\dfrac{-\j}{k_c^2}\left(\omega\vare\dfrac{\p E_z}{\p x}+\beta\dfrac{\p H_z}{\p y}\right) \\E_x=\dfrac{-\j}{k_c^2}\left(\beta\dfrac{\p E_z}{\p x}+\omega\mu\dfrac{\p H_z}{\p y}\right) \\E_y=\dfrac\j{k_c^2}\left(-\beta\dfrac{\p E_z}{\p y}+\omega\mu\dfrac{\p H_z}{\p x}\right) \]

其中 \(k_c^2=k^2-\beta^2\)，被称作 截断波数(cutoff wave number)。

• 考虑 TEM 波的场合。此时应有 \(E_z=H_z=0\)。其能成立，当且仅当 \(k_c=0\)，则应有 \(k=\beta\)。回到 Helmholtz 方程，得到 \(\nabla^2_{x,y}\bar{\b e}(x,y)=\b0\)，即二维 Laplace 方程。而这个方程刚好与导体之间的静场相同。因此，单一导体不存在 TEM 波。
• 在同轴电缆的场合，定义 TEM impedence \(z_{TEM}=\dfrac{E_x}{H_y}=-\dfrac{E_y}{H_x}=\dfrac{\omega\mu}{\beta}=\sqrt{\mu/\vare}=:\eta\)，在真空时这一数值为 \(377\Om\)。
• TE 波的 \(z_{TE}=\dfrac k\beta\eta\)。TM 则是 \(\dfrac\beta k\eta\)。

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不是，这推导真不如不把 \(x,y,z\) 拆开来一点好吧。

直接从 Helmholtz 方程组

\[\nabla^2\b E+k^2\b E=\b0 \]

出发。假设 \(\b E\) 满足 \(\b E(x,y,z)=\b E(x,y)\exp(\j k_zz)\) 的传播公式，则对于 \(x,y,z\) 中任一维，其对应的 \(E=\b E_{x/y/z}(x,y)\) 都有

\[(\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2})E(x,y)\exp(\j k_zz)+(k^2-k_z^2)E(x,y)\exp(\j k_zz)=\b0 \\(\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2})E(x,y)+(k^2-k_z^2)E(x,y)=0 \]

这里的 \(k_z\) 就是前面推导的 \(\beta\)，于是 \(k^2-k_z^2=k_c^2\)。

在矩形波导的场合，现在假设 \(E(x,y)=X(x)Y(y)\)，分离变量、结合边界条件得到

\[E_x=A_x\cos k_xx\sin k_yy\exp(\j k_zz) \\E_y=A_y\sin k_xx\cos k_yy\exp(\j k_zz) \\E_z=A_z\sin k_xx\sin k_yy\exp(\j k_zz) \]

同理应有 \(k_x=m\pi/a,k_y=n\pi/b\)，\(k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2\)。再考虑散度为零，得到 \(k_xA_x+k_yA_y-\j k_zA_z=0\)。

\[f_{cmn}=\dfrac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu\vare}}=\dfrac1{2\pi\sqrt{\mu\vare}}\sqrt{(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2} \]

当 \(a>b\) 时，截断模式是 \(TE_{10}\)，\(f_{c10}=\dfrac1{2a\sqrt{\mu\vare}}\)，低于该频率的波时，\(\beta\) 会为虚数，此时波并非传播波，而是指数衰减波。

\(Z_{TE}=\dfrac k\beta\eta\)，其中 \(\eta\) 是波导介质的特征阻抗。波导波长 \(\lambda_g=\dfrac{2\pi}\beta>\dfrac{2\pi}k=\lambda\)，相速度 \(v_p=\dfrac\omega\beta>\dfrac\omega k=\dfrac1{\sqrt{\mu\vare}}\)。群速度则是 \(<c\)。

TM 波则当 \(m,n\) 一者为零即为零。TM 基模是 \(TM_{11}\)。