Einstein 大战 Eisenstein 大战 Eppstein

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \]

I.牛顿相对性原理和伽利略变换

在任何惯性系中观察，同一力学现象将按同样形式发生和演变，此乃 Newton 相对性原理 或称 力学相对性原理。Newton 持有 绝对时空观，即时空的量度与参考系无关。

考虑两个参考系，以 \(S(O,x,y,z)\) 与 \(S'(O',x',y',z')\) 描述：它们的坐标轴相互平行，\(x\) 轴与 \(x'\) 轴重合，\(S'\) 相对于 \(S\) 沿 \(x\) 轴以速度 \(\b u=u\b i=u\hat{\b x}\) 运动。时间量度的绝对性导致 \(t=t'\)，则变换为

\[\begin{cases} x'=x-ut\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=t \end{cases} \]

速度变换公式是 \(\b v'=\b v-\b u\)，即 Galileo 速度变换公式。

II.爱因斯坦相对性原理和光速不变

Newton 错了！Einstein 目前没发现错！

光速 \(c=299792458\Me/\Se\) 与参考系无关。

因此有 Einstein 相对性原理：物理规律对于所有惯性系均一致，不存在任何一特殊（例如绝对静止）惯性系。同样的公设有光速不变原理。

III.同时性的相对性和时间延缓

光速不变原理直接否认了同时性：在某坐标系下观测到同时发生的两件事，在其它坐标系下则不然。在 \(S'\) 的 \(x'\) 轴上 \(A,B\) 各放一台钟，\(A,B\) 中点 \(M\) 向两侧同时发光，则 \(S'\) 系下 \(A,B\) 应同时接受到光；而在 \(S\) 系上，\(A\) 与光相向而行，\(B\) 与光背向而行，因此 \(A\) 必然先接受到光。

现于 \(S'\) 系下，在 \(A'\) 处固定光源，在 \(y'\) 轴上 \(d\) 以外放置镜子，在 \(A'\) 旁放置钟表。\(A'\) 发射一束光，射入镜子并返回，所需时间为

\[t'=\dfrac{2d}c \]

那 \(S\) 下的时间如何测量？考虑在 \(S\) 系下沿 \(x\) 轴固定众多钟表，通过 \(A'\) 任意时刻临近的钟表判断经过时间。

若某个长度垂直于两坐标系相对运动方向，则其必然在两系中测量结果相同，否则火车无法通过山洞。因此，在 \(S\) 下观察，镜子距 \(x\) 轴距离亦为 \(d\)。

在 \(S\) 下，光单程移动距离是

\[l=\sqrt{d^2+\left(\dfrac{u\Delta t}2\right)^2} \]

且

\[\Delta t=\dfrac{2l}c \]

解得

\[\Delta t=\dfrac{2d}c\dfrac1{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

于是

\[\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

在某一参考系下，若两时间在同一处先后发生，则二者间隔被称作 固有时。上式表明，固有时最短；若其它参考系相对固有时参考系在运动，则其测量时间会变长。

运动的钟（既然钟在运动，那说明我们相对钟而言处于非固有时参考系中）认为固有时最短，那么我们对时间的量度就会比它长，换言之运动的钟会变慢。同理，钟系的观察者会认为我们在运动，我们的钟表变慢了。

IV.长度收缩

长度测量与同时性是密切相关的：我们对长度的定义是 同一时刻 两端点的距离。

有一根棒 \(A'B'\) 固定于 \(x'\) 轴。\(S'\) 系中其长度为 \(l'\)。

假设在 \(S\) 中的时刻 \(t_1\)，\(B'\) 端经过点 \(x_1\)，在时刻 \(t_1+\Delta t\)，\(A'\) 经过 \(x_1\)，则可以认为有

\[l=u\Delta t \]

从 \(S'\) 系看来，棒是静止的，而 \(x_1\) 相继经过 \(B'\) 和 \(A'\) 端，时间间隔为

\[\Delta t'=\dfrac{l'}u \]

然而 \(S\) 系下的时间是固有时，因此

\[\Delta t'=\dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-u^2/t^2}} \]

则 \(l=l'\sqrt{1-u^2/c^2}\)。

在静止参考系下，其长度称作 静长 或 固有长度。运动的棒长度会收缩。

V.洛伦兹坐标变换

求两个坐标系测出的某时刻发生在 \(P\) 点的事件的坐标值间关系。若在 \(S'\) 系中测量的时刻为 \(t'\)，从 \(y'z'\) 到 \(P\) 的距离为 \(x'\)，则从 \(xz\) 到 \(P\) 的距离，应等于两原点距离 \(ut\) 加上 \(y'z'\) 到 \(P\) 的距离；后一段在 \(S\) 系中测量时，数值不再等于 \(x'\)，根据长度收缩，变为 \(x'\sqrt{1-u^2/c^2}\)。即，

\[x=ut+x'\sqrt{1-u^2/c^2} \]

同时有 \(x'=x\sqrt{1-u^2/c^2}-ut'\)

因此有

\[t'=\dfrac{t-\dfrac u{c^2}x}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \]

总结：

\[\begin{cases} x'=\dfrac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\y'=y \\z'=z \\t'=\dfrac{t-\dfrac u{c^2}x}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{cases} \]

此乃 Lorentz 坐标变换。

常用以下二恒等符号

\[\beta\equiv\dfrac uc,\gamma\equiv\dfrac1{\sqrt{1-\beta^2}} \]

于是公式为

\[\begin{cases} x'=\gamma(x-\beta ct) \\y'=y \\z'=z \\t'=\gamma(t-\dfrac\beta cx) \end{cases} \]

以下是正确的：

• 若在某系中，某两点始终保持静止，则其间距离是最长的固有长度。
• 若在某系中，某两事件先后发生于同一点，则其间间隔时刻是最短的固有时。
• 一点和两点相向而行，一点系中两点先后过一点，计算的时间是固有时，相应的长度会短；两点系中两点始终静止，计算的长度是固有长度，相应的时间会长。
• 两坐标系原点的间隔在两坐标系视角下均相同，且都等于 \(ut\)。
• 因此，有 \(OP=OO'+O'P\)，在 \(O\) 系下 \(O'P\) 的长度 \(l\) 与 \(O'\) 系下二者长度 \(l'\) 满足关系 \(l=l'/\gamma\)，因此有 \(x=ut+x'/\gamma\)。

使用 Lorentz 变换，两点 \((x_1,t_1),(x_2,t_2)\) 有

\[l'=x'_2-x'_1=\gamma(x_2-\beta ct_2)-\gamma(x_1-\beta ct_1) \]

测量长度时要求共时性，因此有 \(t_1=t_2\)，此时 \(l'=\gamma l\)，即得长度关系。

\[t'=t_2'-t_1'=\gamma(t_2-\dfrac\beta cx_2)-\gamma(t_1-\dfrac\beta cx_1) \\=\gamma(t_2-t_1)(1-\dfrac\beta c\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}) \\=\gamma t(1-\dfrac\beta c\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}) \]

有因果关系的两件事，其先后关系不可能被颠倒。因果关系总是伴随着信息传播，而信息传播速度 \(v=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\leq c\)。然后知 \(\gamma(1-\dfrac\beta cv)\geq0\)，即因果关系存在的两件事先后关系锚定了。

VI.相对论速度变换

相对论速度变换公式

\[v_x'=\dfrac{v_x-\beta c}{1-\dfrac\beta cv_x} \\v_y'=\dfrac{v_y}{\gamma(1-\dfrac\beta cv_x)} \\v_z'=\dfrac{v_z}{\gamma(1-\dfrac\beta cv_x)} \]

特别地，考虑沿 \(x\) 轴传播的光速，代入知

\[c'=\dfrac{c-\beta c}{1-\dfrac\beta c c}=c \]

然后知光速不变定律被保持了。

VII.相对论质量

动量守恒比起 Newton 定律而言是更本质的定律。动量的公式

\[\b p=m\b v \]

在 Newton 力学中，\(m\) 与质点速率无关，即所谓的 静止质量。但实际对动量的测量发现并非成正比。

\(S'\) 系中考虑一静止于 \(O'\) 的粒子，突然分裂为两半 \(A,B\) 沿 \(x'\) 轴的负向和正向移动。则二者速率应相同，均为 \(u\)。

令 \(S\) 与 \(A\) 相对静止地运动；根据相对论变换，\(B\) 的速度为

\[v_B=\dfrac{2u}{1+u^2/c^2} \]

分裂前总动量为 \(Mu\b i\)，分裂后总动量为 \(m_Bv_B\b i\)。合理地假设分裂前后能量守恒，则

\[(m_A+m_B)u=\dfrac{2m_Bi}{1+u^2/c^2} \]

最终可以解得

\[m_B=\dfrac{m_A}{\sqrt{1-v_B^2/c^2}} \]

在 \(S\) 系下观察，\(B\) 的质量即发生这样的改变。

然后知 Lorentz 变换导出相对论质量

\[m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma m_0 \]

\(m\) 称为 相对论质量，而 \(m_0\) 是静止质量，是物体能达到的最小质量。速度越快，质量就越大。

相对论动量的公式即为

\[\b p=m\b v=\gamma m_0\b v \]

动量关于时间的变化率即为力，即

\[\b F=\dot{\b p} \]

经典力学中，\(m\) 与速度无关，因此可以提出，得到 \(F=ma\) 的 Newton 第二定律；但是现在 \(m\) 与速度有关，必须使用

\[\b F=m\dot{\b v}+\dot m\b v \]

才有效。

VIII.力与加速度的关系

考虑力在切向与法向上的分解。法向有

\[\b F_n=m\dot{\b v}_n=m\b a_n \]

而切向则是

\[\b F_t=m\b a_t+v\dot m \]

因为 \(a_n=\dfrac{v^2}R,a_t=\dot v\)，最终解得

\[\b F_n=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\b a_n=\gamma m_0\b a_n \\\b F_t=\dfrac{m_0}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\b a_t=\gamma^3m_0\b a_t \]

因为二者系数不同，所以力在数值上不等于加速度，且与加速度的方向也不同；加速度相同时，速度越大力越大，因此增加速度的大小很困难。

IX.相对论动能

相对论动能是总能量减去静能量的部分，即

\[E_k=mc^2-m_0c^2 \]

其与 Newton 力学表达式 \(E=\dfrac12mv^2\) 明显不同；但是当 \(v\ll c\) 时，有

\[\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}=1+\dfrac12\dfrac{v^2}{c^2}+\dots\approx1+\dfrac12\dfrac{v^2}{c^2} \]

代入即得 Newton 动能公式。

由动能定理，

\[E_k=\int_{(v=0)}^{(v)}\b F\cdot\d\b r \\=\int_{(v=0)}^{(v)}\dfrac{\d(m\b v)}{\d t}\cdot\d\b r \\=\int_{(v=0)}^{(v)}\b v\cdot\d(m\b v) \\=\int_{(v=0)}^{(v)}mv\d v+v^2\d m \]

又 \(m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2\)，所以

\[2mc^2\d m-2mv^2\d m-2m^2v\d v=0 \]

也即

\[c^2\d m=v^2\d m+mv\d v \]

因此

\[E_k=\int_{(m=m_0)}^{(m)}c^2\d m \\=mc^2-m_0c^2 \]

X.相对论能量

一定的能量相应于一定的质量。能量守恒时，所有粒子的能量都带有 \(c^2\) 因子，除以 \(c^2\) 即得质量守恒；但需要注意的是守恒的是静质量，且能量变化大（例如核裂变）时，质能是可以互换的。

XI.动量和能量的关系

满足 \(E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\)。动量-能量变换式为：

\[\begin{cases} p'_x=\gamma(p_x-\dfrac{\beta E}c) \\p'_y=p_y \\p'_z=p_z \\E'=\gamma(E-\beta cp_x) \end{cases} \]

XII.相对论力的变换

\[\begin{cases} F_x=\dfrac{F'_x+\dfrac\beta c\b F'\cdot\b v'}{1+\dfrac\beta cv_x'} \\F_y=\dfrac{F'_y}{\gamma(1+\dfrac\beta cv_x')} \\F_z=\dfrac{F'_z}{\gamma(1+\dfrac\beta cv_x')} \end{cases} \]