不可名状之混沌邪物

\[\newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\p}{\part} \newcommand{\D}{\mathrm D} \newcommand{\Curl}{\operatorname{curl}} \newcommand{\rot}{\operatorname{rot}} \newcommand{\Div}{\operatorname{div}} \newcommand{\rra}{\rightrightarrows} \newcommand{\rras}[1]{\mathop\rightrightarrows\limits^{#1}} \]

重积分：\(\int_I f(x)\d x=\lim\limits_{\max\text{diam}(I_n)\to0}\sum f(\xi_i)\|I_i\|\)，其中 \(I_i\) 构成 \(I\) 的一组定义域划分。

同理可以定义 Darboux 上下和与 Darboux 上下积分。Lebesgue 准则，即以下三条件等价：

• Riemann 可积。
• 有界且 Darboux 可积。
• 有界，且几乎处处连续（间断点体积为零，即可以用趋于零的总体积覆盖）

\[\iint_If\d x\d y \]

表明是重积分，与累次积分区别。三维有 \(\iiint\)，更高维就干脆只写一个，维数看积分空间维数即可。

若被积函数是向量，则积分等于每一维分开积分。

当 \(I\) 是有界闭矩形 \([a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_n,b_n]\)，且函数在矩形上连续并有界时，函数在矩形上必 Riemann 可积，且重积分等于累次积分。

其扩展为 Fubini 定理，只要在矩形上 Riemann 可积就可以用累次积分替代重积分。但是，可以替代并不保证累次积分存在，在一些瑕点上可以用 Darboux 积分替代 Riemann 积分，甚至直接忽略所有瑕点（反正瑕点集是零测的）

传统上，累次积分也有 \(\int_a^b\d x\int_\alpha^\beta d\d y\) 的，明显区别于重积分的写法。

虽然累次积分总是存在，但并不意味着所有的累次积分都是好算的。应该审慎选择积分顺序，这样才能积得最好。

如果积分区域 \(I\) 并非矩形怎么办？

将 \(I\) 扩充为矩形 \(R\)，定义 \(I_I\) 为在 \(I\) 上为 \(1\)，其余位置为 \(0\) 的函数，然后积分 \(\int_Rf(x)I_I\d x\) 即可。此时 \(R\) 是矩形所以可以累次积分。

但是要求边界是零测的。

• 一个点是 \(A\) 的边界，如果其任意邻域中均同时存在 \(A\) 中元素、\(A\) 外元素。这个点也可以在边界内或外。

边界点是闭集，因为对于任意收敛于 \(\bf x^*\) 的 \(\bf x_n\)，存在 \(A\) 中元素列 \(\bf y_n\)、\(A\) 外元素列 \(\bf z_n\) 满足 \(\|\bf x_i-\bf y_i\|\leq\dfrac1n,\|\bf x_i-\bf z_i\|\leq\dfrac1n\)，则 \(\bf y\) 与 \(\bf z\) 均收敛于 \(\bf x^*\)，则 \(\bf x^*\) 亦是边界点。

对于边界零测的有界闭集 \(A\)，如果 \(f:A\to\R\) 有界且间断点零测，则定义 \(\int_{\R^m}f_A\d x=\int_Af\d x\)。特别地，定义 \(|A|=\int_A1\d x\)，即高维体积。

Jordan 可测集：

• 有界。
• 对于任意 \(\epsilon>0\)，存在 有限 多矩形覆盖边界集，且其面积和小于 \(\epsilon\)。

有界集合的零测边界集是 Jordan 可测集。

如何判定零测集？

当 \(f:A\to\R\) 连续时，函数图像 \(\{(\bf x,f(\bf x))\mid x\in A\}\) 是零测集：对于任意 \(n\) 可以将覆盖 \(A\) 的矩形在每一维上 \(n\) 等分成小矩形，每块小矩形因为一致连续所以可以被覆盖。

推论：对于 Jordan 可测的有界闭集 \(A\)，\(f,g:A\to\R\) 连续且处处满足 \(f\leq g\) 时，\(\{(\bf x,y)\mid f(\bf x)\leq y\leq g(\bf x)\}\) Jordan 可测。

• 上下边界由上述结论，可以被有限覆盖；侧面因为 \(f,g\) 有界且 \(A\) Jordan 可测，所以可以被有限覆盖。

曲边梯形指满足如下条件的区域：

• \(a_1\leq x_1\leq b_1\)。
• \(a_2(x_1)\leq x_2\leq b_2(x_1)\)。
• \(a_3(x_1,x_2)\leq x_3\leq b_3(x_1,x_2)\)。
• ……
• \(a_m(x_1,\dots,x_{m-1})\leq x_m\leq b_m(x_1,\dots,x_{m-1})\)。

其中所有的 \(a_i,b_i\) 均连续。

曲边梯形是“相对”可以在上面积分的区域：

\[\int_Af\d x=\int_{a_1}^{a_2}\d x_1\int_{a_2(x_1)}^{b_2(x_2)}\d x_2\dots\int_{a_m(x_1,\dots,x_{m-1})}^{b_m(x_1,\dots,x_{m-1})}f\d x_m \]

曲边梯形有时可以通过坐标系变换变成好算的东西（？）

比如说参数方程化。例如，曲面 \(0\leq z\leq xy,0\leq y\leq x\leq1\)，可以令 \(x=t,y=sx=st,z=st^2\)，其中 \(t,s\in[0,1]\)。

一维有向积分的换元：

\[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\d x=\int_a^bf(\varphi(x))\d\varphi(x)=\int_a^bf(\varphi(x))\varphi'(x)\d x \]

对 \(\varphi\) 没有任何要求。

一维无向积分的换元：

\[\int_{\varphi(I)}f(x)\d x=\int_If(\varphi(x))|\varphi'(x)|\d x \]

要求：\(\varphi\) 连续可逆，进而是双射。绝对值处理 \(\varphi\) 增减两种可能。

换元的目的：一元简化运算，多元化简区域。

例：曲边梯形积分。\(f(x)\leq y\leq g(x)\)，换元为 \(y=(1-t)f(x)+tg(x)\)，其中 \(t\in[0,1]\)。

\[\int_{f(x)}^{g(x)}p(x,y)\d y=\int_0^1p(x,(1-t)f(x)+tg(x))(g(x)-f(x))\d t \]

这样搞后，有时就可以换序，因为曲边梯形积分变成了矩形积分。

事实上，令 \(\varphi(x,t)=(x,(1-t)f(x)+tg(x))\)，则 \(g(x)-f(x)=\det J\varphi(x,t)\)。

\(\det A\) 刻画矩形在线性变换后面积比。Riemann 和借助矩形划分定义，经过 \(A\) 的变换后每个矩形的面积变成原本的 \(\det A\) 倍，因此要乘上行列式。

不仅是二维，更高维的曲边梯形也可以通过 \(t\) 的变换变成 \([0,1]^n\) 的矩形。

而，如果变换并非线性（即 \(A\) 并非处处相同），则 Jacobi 对角矩阵对应的变换其实是由矩形变为曲边梯形；Jacobi 任意矩阵对应的变换就是一个朴素的变换。

一般地，对于零测边界有界闭集 \(U\)，有 \(\scr C^1\) 微分同胚 \(U\to\Phi(U)\)，则对于任意 \(f\in\scr R(\Phi(U))\)，有

\[\int_{\Phi(U)}f(\bf y)\d\bf y=\int_Uf(\Phi(\bf x))|\det J\Phi(\bf x)|\d\bf x \]

或者，若 \(\Phi:(x_1,\dots,x_m)\to(y_1,\dots,y_m)\)，则

\[\int_{\Phi( U)}f(y_1,\dots,y_m)\d y_1\dots\d y_m=\int_Df(\Phi(x_1,\dots,x_m))\left|\det\dfrac{\p(y_1,\dots,y_m)}{\p(x_1,\dots,x_m)}\right|\d x_1\dots\d x_m \]

……唔，好像这是 Jacobian 的首次披露。微分同胚上的 Jacobian 刻画体积的变化。

正交变换刻画笛卡尔坐标系的变动。正交矩阵的行列式为正负一进而保体积。如果 \(J\Phi\) 处处正交矩阵，则该变换处处保体积。

微分同胚对应的 Jacobi 矩阵的列向量 \(\p_1J,\dots,\p_m J\) 线性无关，其构成随 \(\bf x\) 移动的坐标系。因此

\[|\det J|=\sqrt{\det J\det J^T} \\=\sqrt{\det(J^TJ)} \\=\sqrt{\det(\lang\p_iJ,\p_jJ\rang)} \]

其中，\(G=\lang\p_iJ,\p_j J\rang\) 称作曲线坐标系下的度量矩阵，或者 Gram 矩阵，其中元素是 \(\p_i J\) 的逐对内积。于是有

\[\int_{\Phi(U)}f(\bf y)\d\bf y=\int_Uf(\Phi(\bf x))\sqrt{\det G\Phi(\bf x)}\d\bf x \]

如果 \(\Phi\) 保内积，则 \(\lang\p_iJ,\p_jJ\rang=\lang\D\Phi\bf e_i,\D\Phi \bf e_j\rang=\lang\bf e_i,\bf e_j\rang\)，则 \(G\) 是单位矩阵，则 \(\Phi\) 保体积。

常见变换：平面极坐标 \((r,\theta)\to(r\cos\theta,r\sin\theta)\)。平面椭圆坐标 \((t,\varphi)\to(at\cos\varphi,bt\cos\varphi)\)。平面双曲坐标（渐近线为坐标轴和象限角平分线的双曲线确定一个点）\(t=x^2-y^2,s=2xy\)，其逆映射不好表示，但是其逆映射的 Jacobian 可以用逆映射定理简单求。

多元正态分布依靠均值向量 \(\mu\) 和正定对称的协方差矩阵 \(\Sigma\)，PDF 为 \(\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu)\right)\)。证明该 PDF 的重积分为 \(1\)。

取 \(\Sigma=AA^T\)。令 \(\bf y=A^{-1}(\bf x-\mu)\)，则

\[\det\Sigma=\det A^2\\A^T\Sigma^{-1}A=I\\\bf y^T\bf y=(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu) \]

则

\[\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu)\right)\d\bf x \\=\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12\bf y^T\bf y\right)\det A\d\bf y \\=\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m}}\exp\left(-\dfrac12\bf y^T\bf y\right)\d\bf y \]

这样搞，维与维间就独立了。但是一维的，目前好像还算不了？

但是二元是可算的！

\[\int_{\R^2}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^2}}\exp\left(-\dfrac12(y_1^2+y_2^2)\right)\d y_1\d y_2 \\=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\d\theta\int_0^{+\infty}r\exp(-\dfrac12r^2)\d r \\=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\d\theta\cdot\left.-\exp(-\dfrac12r^2)\right|\d r \\=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\d\theta \\=1 \]

第一型曲面积分：标准模型是，已知曲面上每个点的密度，算出总质量。

例：如果是参数化曲线，则只要曲线正则（即 \(\bf x'\) 处处非零），弧长（即质量为一）就是 \(\int_a^b\|\bf x'(t)\|\d t\)。

希望：弧长对于不同的参数方程下守恒。定义

\[\int_\gamma f(\bf x)\d l=\int_a^bf(\bf x)\|\bf x'(t)\|\d t \]

考虑正则换元 \(t=t(s)\)，则

\[\int_{[a,b]} f(\bf x)\|\bf x'(t)t'(s)\|\d s=\int_{[a,b]} f(\bf x)\|\bf x'(t)\||t'(s)|\d s=\int_{t[a,b]}f(\bf x)\|\bf x'(t)\|\d t \]

注意此处的换元要求 \(t'(s)\) 处处非零，则 \(t(s)\) 必有单调性，也因此积分须是无向积分。

二维有界开曲面的面积度量。考虑其存在光滑正则参数表示 \(\bf x(t,s)\)。在 \((t,s)\) 处度量切向量张成二维平行四边形面积，为

\[\sqrt{\|\p_t\bf x\Delta t\|^2\|\p_s\bf x\Delta s\|^2-\lang\p_t\bf x\Delta t,\p_s\bf x\Delta s\rang^2} \]

或者，用行列式表示为

\[\sqrt{\det\begin{bmatrix}\lang\p_t\bf x,\p_t\bf x\rang&\lang\p_t\bf x,\p_s\bf x\rang\\\lang\p_s\bf x,\p_t\bf x\rang&\lang\p_s\bf x,\p_s\bf x\rang\end{bmatrix}}\Delta t\Delta s \]

于是可以由此对参数曲面定义面积。这个矩阵其实就是偏导向量的度量矩阵或称 Gram 矩阵。Gram 矩阵总是半正定的，因此其行列式总非负。Gram 矩阵的行列式被称作 Gramian，高维曲面的面积就是 Gramian 开根的积分。

定义为 Gramian 开根的面积适用于一切维度的面积。具体可以关于维数归纳，每次尝试新增一维并把新维度的信息分解为正交向量和相关向量，也即 Gram 矩阵中新的一行一列。

对于从 \((t,s)\) 基到 \((u,v)\) 基的微分同胚，可知 \(G_{u,v}=J^T\dfrac{t,s}{u,v}G_{t,s}J\dfrac{t,s}{u,v}\)。也即，如果有微分同胚 \(f:U\to V\)，则 \(\det G_U=\det G_V\det^2J_f\)。开根之后 \(|\det J_f|\) 刚好可以被用于换系，因此参数曲面的面积在任何微分同胚下都相等。

特别地，如果当曲面维数与空间维数相同，那么开根 Gramian 其实就是 Jacobian。

例：求水平参数方程 \(y=f(x_1,\dots,x_m)\) 的体积：其刻画 \(m+1\) 维空间中的 \(m\) 维曲面。有偏导向量为 \(\p_i u=[0,0,\dots,i=1,\dots,0,\p_if]\)。算 Gram 是

\[\begin{bmatrix}1+\p_1f^2&\p_1f\p_2f&\dots\\\p_2f\p_1f&1+\p_2f^2&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}=I+\nabla f\nabla^T f \]

对于与 \(\nabla f\) 正交的 \(\bf v\)，有 \(G\bf v=\bf v\)，也即这可以确定 \(m\) 个 \(1\) 特征值；另一个特征向量取 \(\nabla f\)，对应特征值为 \(1+\|\nabla f\|^2\)，于是行列式为 \(1+\|\nabla f\|^2\)。也即，有水平方程面积公式 \(\int\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}\d\bf x\)。

曲线弧长有两种定义方式：速度时间法，与以直代曲法；后者在每一段里使用中值定理可以转为前者。那么，高维曲面面积似乎也必然有两种方法，即拆成若干小块然后算面积微元，或者曲面撒点然后三角剖分近似。

然而，后者被 Schwarz 灯笼构造了反例：对一个圆柱应用撒点的结果，最劣时三角剖分的面积和可以趋向无穷！因此，就只有微元法一种可行的定义高维面积和体积的方法了。

有没有纯粹拓扑的定义体积方法呢？对一个集合定义 Hausdorff 测度，使用 \(k\) 维的球可重叠地覆盖整个集合，当最大球半径趋于零时定义球 \(k\) 维体积求和的下界为其 Hausdorff \(k\)-测度。\(k\) 值存在临界点，大于临界点均为零，小于均为无穷，临界点称为集合的维数，维数处 Hausdorff 测度被称为体积。

第二型曲线积分：

要素包括向量场与有向曲线。

例：

力的做功：\(\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t\)。

流速场环量：\(\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf T(\bf x)\d\ell\)，其中 \(\bf T(\bf x)\) 为单位切向量。有

\[\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf T(\bf x)\d\ell=\pm\int_a^b\bf v(\bf x)\cdot\bf x'(t)\d t \]

其中 \(\bf x(t)\) 是 \(\gamma\) 的任何正则参数表示；有 \(\bf T(\bf x(t))=\pm\dfrac{\bf x'(t)}{\|\bf x'(t)\|}\)，且 \(\d\ell=\|\bf x'(t)\|\d t\)。注意此处的 \(\pm\) 由曲线定向确定。

对于平面简单封闭曲线，定义如下量：

• \(\bf n(\bf x)\) 为单位外法向量。
• \(\bf T(\bf x)\) 为单位切向量，由外法向量逆时针旋转 \(90^\circ\) 得到。
• \(\bf k(\bf x)\) 为平面单位法向量，满足 \(\bf n,\bf T,\bf k\) 成右手系。

同理有流速场通量

\[\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf n(\bf x)\d\ell \]

将 \(\bf v\) 旋转后得到 \(\bf u\)，则 \(\bf v\) 沿 \(\gamma\) 通量等于 \(\bf u\) 沿 \(\gamma\) 环量。

综上，不论是功、环量还是通量，都可以被归结为向量场与有向曲线速度点积的积分，称作第二型曲线积分，标准式即为

\[\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t \]

如果有笛卡尔坐标系，则点积可以被拆成每一维分开处理。

\[\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t=\int_a^b\sum\limits_{i=1}^nf_i(\bf x(t))x_i'(t)\d t=\int_a^b\sum f_i\d x_i \]

其中最后一坨类似全微分，被称作微分形式。

需要注意的是，一元时，任何 \(f(x)\d x\) 都是微分，可以被表示为某种 \(\d F(x)\)，只要 \(f(x)\) 连续；但是多元时，类似 \(y\d x-x\d y\) 之类的东西，虽然长得像全微分但是不是任何 \(g(x,y)\) 的微分，因为 \(\p_{xy}g\neq\p_{yx}g\)。因此只能被称作微分形式。

具体而言，一阶微分形式是

\[\sum_{i=1}^nf_i(x_1,\dots,x_n)\d x_i \]

的线性函数场，其在每个点 \(\bf x\) 处均是线性函数，将 \(\bf v\) 映到实数。

向量与线性函数是对偶，它们存在一一映射；于是，向量场就与线性函数场也即一阶微分形式是对偶。物理向量总是列向量，线性函数可以被认为是行向量，不需要将其看成列向量再用内积定义，于是换元时就不需要计较保内积等问题。

令一阶微分形式 \(\omega=\sum f_i\d x_i\) 作用于有向曲线 \(\gamma\) 的正向切向量场，这个东西被记作 \(\int_\gamma\omega\)，得到

\[\int_\gamma\sum f_i\d x_i \]

沿有向曲线的一阶微分形式的积分，积分结果对于保正向的正则参数表示无关。也即，对于 \(t'(s)>0\) 的换元至 \(s\)，一阶微分形式的积分不变。

微分形式的积分满足线性性和关于路径的可加性。

如果一个向量场可以表示为某个函数的梯度场，则该函数被称作梯度向量场的（数学）势函数。此时，

\[\int_\gamma\bf F(\bf x)\cdot\d\ell=\int_a^b\nabla g(\bf x)\cdot\bf x'(t)\d t \\=\int_a^b\dfrac\d{\d t}g(\bf x(t))\d t=g(\bf x(b))-g(\bf x(a)) \]

即，有势力场做功与运动无关。

保守向量场是沿曲线积分都只与起讫点有关的向量场。保守向量场与梯度向量场等价。

定义满足 \(\dfrac{\p f_i}{\p x_j}=\dfrac{\p f_j}{\p x_i}\) 的向量场是无旋场。保守 \(\iff\) 有势 \(\implies\) 无旋场。满足无旋式的一阶微分形式被称作恰当微分形式。

矩阵 \(A\) 可以刻画线性变换，这个过程被称作 push forward；向量可以刻画线性函数。有一个流程是向量通过矩阵变成新向量，新向量再刻画线性函数；那么存在与 \(A\) 相关的 \(A^*\)，把新线性函数 pull back 为旧线性函数。

微积分的本质是局部线性代数。对于映射 \(\Phi:\bf x\mapsto\bf y\)，\(\D\Phi\) 是把 \(\bf x\) 处切向量映到 \(\bf y\) 处切向量的线性变换，因此存在对应的 pull back \(\Phi^*\) 满足 \(\Phi^*(\omega)(\bf v)=\omega(\D\Phi(\bf x)\bf v)\)。

几何上，约定 \(\Phi_*\) 表示 push forward，也即 \(\D\Phi(\bf x)\)，其把定义点处切向量映到值域点处切向量；约定 \(\Phi^*\) 表示 pull back，其把 \(\bf y\) 处的线性变换（也即一阶微分形式 \(\omega\)）映回 \(\bf x\) 处的线性变换 \(\Phi^*(\omega)\)。

• 给定 \(\bf x\) 和 \(\bf x\) 处切向量 \(\bf v\)，push forward 将其对应到 \(\bf y\) 处切向量 \(\bf u\)。
• 给定 \(\bf y\) 和 \(\bf y\) 处线性函数 \(\omega\)，pull back 将其对应到 \(\bf x\) 处线性函数 \(\tilde\omega\)。

有

\[\int_{\Phi(\gamma)}\omega=\int_\gamma\Phi^*(\omega) \]

证明如下：

\[\int_{\Phi(\gamma)}\omega=\int_a^b\sum_i\omega_i(\bf y)\d\bf y_i \\=\int_a^b\sum_i\omega_i(\Phi(\bf x))\sum_j\p_j\Phi(\bf x)\d\bf x_j \\=\int_\gamma\left(\sum_i\omega_i(\Phi(\bf x))\right)\sum_j\p_j\Phi(\bf x)\d\bf x_j \]

考察 push forward 与 pull back，

\[(\Phi_*(\bf x)\bf v)_i=(\D\Phi(\bf x)\bf v)_i=\sum_j\p_j(\Phi(\bf x))_i\times\bf v_j \\\tilde\omega\bf v=\Phi^*(\bf x)(\omega)\bf v=\omega(\D\Phi(\bf x)\bf v) \\(\Phi^*(\bf x)\omega)_j=\sum_i\p_j(\Phi(\bf x))_i\times\omega_i \\\Phi^*(\bf x)(\omega)(\bf v)=\omega(\Phi_*(\bf x)(\bf v)) \]

具体应用而言，对于某个线性映射 \(\Phi:\bf x\mapsto\bf y\)，有

\[\bf y=(\D\Phi)\bf x \\ [\d\bf y_1\dots\d\bf y_n]=[\d\bf x_1\dots\d\bf x_n](\D\Phi)^T \]

对于平面向量场 \(\bf V=(X,Y)^T\)，平面向量场的旋度 \(\Curl\bf V\) 或者 \(\rot\bf V\) 被定义为 \(\p_xY-\p_yX\)。无旋向量场是旋度处处为零的场。保守（有势）的向量场必然无旋，反之不亦然。

可以发现，假如把 \(\nabla\) 和 \(\Curl\) 均当成算子的话，则 \(\Curl\) 算子其实是 \(\nabla\times\) 算子。

一个矩阵必然可以拆成对称矩阵和反对称矩阵的和（\(\dfrac12(A+A^T)\) 与 \(\dfrac12(A-A^T)\)）；对称矩阵有着正交的特征向量们，特征向量产生不了旋转，因此假如向量场可以写成 \([X,Y]^T=A[x,y]^T\) 的形式且 \(A\) 为对称矩阵，则其必是无旋的。因此，矩阵的旋度仅受其反对称分量的旋度描述。\(A-A^T\) 提供纯粹旋转。

因此，线性向量场 \(\bf V=\begin{bmatrix}ax+by\\\alpha x+\beta y\end{bmatrix}\) 可以分解为纯粹旋转 \(\bf W\) 和纯粹不旋转 \(\bf U\) 两个场。

沿着环线的积分 \(\int_\gamma\bf V\cdot\d\bf l\) 被拆成有原函数的不旋转 \(\bf U\) 和另一部分 \(\bf W\) 的积分，前者为零。于是可以得到在 \(\bf V\) 中的环路积分其实是 \((\alpha-b)S=\Curl\bf V\times S\)。

一般地，对于线性向量场 \(\bf V\)，有 \(\Curl V=\dfrac1{\text{Area}(\Omega)}\int_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf l\)，其中 \(\Omega\) 是任何包含某点的连通集合。对于非线性向量场，其在每点附近可以尝试使用线性近似，因此让 \(\Omega\) 的面积趋于零即可同样得到旋度。

对于非线性向量场 \(\bf V=(X,Y)^T\) 和任意矩形 \(R=[a,b]\times[c,d]\)，有

\[\int_{\p R}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_R\Curl\bf V\d x\d y \]

其中证明来自于沿矩形的四边分别积分。

对于任何区域 \(\Omega\)，将其细细剁作矩形，可得上式对于一切 \(\Omega\) 均成立。于是就有 Green 公式：对于一切向量场 \(\bf V\) 和一切区域 \(\Omega\)，有

\[\oint_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_\Omega\Curl\bf V\d x\d y \]

也即，环量等于内部旋度积分。此乃环量-旋度形式的 Green 公式。

同理，一个向量场的散度 \(\Div\bf V=\p_xX+\p_y Y=\nabla\cdot\bf V\)。然后得到通量-散度形式 Green 公式

\[\oint_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf n=\iint_\Omega\Div\bf V\d x\d y \]

其中 \(\bf n\) 是单位外法向量。因为单位外法向量和单位切向量的旋转关系，所以对 \(\bf V\) 旋转后即可把原向量场上通量变成新向量场上环量；新向量场旋度等于原向量场散度。

散度处处为零的向量场称为无源的。

回到之前的 \(\bf W=\bf U+\bf W\) 的分解。可得，\(\bf U\) 是有源的，\(\bf W\) 是无源的。因此，每个线性向量场都可以被分解为一个无旋场 \(\bf U\) 和一个无源场 \(\bf W\) 的和，这种分解被称作 Helmholtz 分解。事实上，只要向量场足够优秀，则任意向量场都可以被分解为无旋场和无源场之和。

对于两个一阶微分形式 \(\omega,\eta\) 和向量场 \(\bf V,\bf W\)，定义它们的楔积或者外积或者斜积。

\[(\omega\land\eta)(\bf V,\bf W)=\det\begin{bmatrix}\omega(\bf V)&\omega(\bf W)\\\eta(\bf V)&\eta(\bf W)\end{bmatrix} \]

斜积关于 \(\bf V,\bf W\) 是双线性、反对称（交换二者位置会导致结果取反）的，关于 \(\omega,\eta\) 亦然。

\(\d x\land\d y\) 是 \(\R^2\) 上的二阶微分形式，其接受两个向量，给出这两个向量张成平行四边形的有向面积。

普通的函数是 零阶微分形式。其取 外微分 得到的 \(\d f\) 是 一阶微分形式。

对于一阶微分形式 \(\omega=\sum F_i\d x_i\)，定义 \(\omega\) 的外微分

\[\d\omega=\sum\d F_i\land\d x_i \]

是二阶微分形式。

假如 \(\omega=\d f\)，则 \(\omega\) 的外微分

\[\d\omega=\sum_i\d\p_i f\land\d x_i \\=\sum_i\sum_j\p_j\p_if\d x_j\land\d x_i \]

因为反对称性，可以得到上式为零（\(\d x_i\land\d x_j=-\d x_j\land\d x_i\)）

事实上，对于任何微分形式，连续求两次外微分都会得到零。这是由偏导的换序性决定的。

现在考察任意二阶微分形式 \(\omega=X(x,y)\d x+Y(x,y)\d y\)，则可得 \(\d\omega=(\p_xY-\p_y X)\d x\land\d y\)。于是有统一的 Green 公式

\[\oint_{\p\Omega}\omega=\iint_\Omega\d\omega \]

前提是 \(\p\Omega\) 取自然正向，此时有 \(\d x\land\d y=\d x\d y\)。

Green 公式其实是一个对于任意维数微分形式均适用的公式：其零维-一维的特例就是 Newton-Leibniz 公式，因为一段区间的边界就是其左右端点。

回顾：向量场 \(\bf V\) 的旋度被定义为某点附近单位面积上的环量，也即 \(\lim\limits_{\text{diam}(S)\to0}\dfrac1{\text{area}(S)}\oint_{\p S}\bf V\cdot\d\bf l\)；散度被定义为单位面积上的通量，即 \(\lim\limits_{\text{diam}(S)\to0}\dfrac1{\text{area}(S)}\oint_{\p S}\bf V\cdot\bf n\d\bf x\)。

单连通区域上的无旋场是保守场，其积分与路径无关。多联通区域，只要包含每个瑕区域的环路积分全为零，则其积分即与路径无关。例如，\(\dfrac{(-y,x)}{x^2+y^2}\) 是无旋场，但是因为环原点积分非零所以其不保守。

考虑解一阶微分形式方程 \(P(x,y)\d x+Q(x,y)\d y=0\)。\((x(t),y(t))\) 是上述方程解，如果 \((x'(t),y'(t))\) 与 \((P,Q)\) 处处正交。满足上述方程解的曲线被称作 积分曲线，积分曲线是解函数的等势线。

若满足恰当条件 \(P_y=Q_x\) 且区域单连通，则存在原函数。原函数可以由路径积分得到。

非恰当方程可以通过积分因子 \(\mu(x,y)[P(x,y)\d x+Q(x,y)\d y]=0\) 改造变为恰当方程。

事实上，齐次微分方程存在极坐标下 \(\mu(r)\) 的积分因子。

\(\R^n\) 中 \(n-1\) 维曲面被称作超曲面。超曲面是可定向的，如果其存在连续的单位法向量场 \(\bf n:\Sigma\to\R^n\)。\((\Sigma,\bf n)\) 二元组共同构成有向曲面。

平面、球面均是可定向曲面。

正则水平集 \(F(\bf x)=0\) 是可定向集。\(\dfrac{\nabla F(\bf x)}{\|\nabla F(\bf x)\|}\) 是连续单位法向量场。

可微函数的图像是可定向曲面。

参数方程的切空间可以用等于零的行列式描述，行列式的梯度为法向量，且该梯度处处非零，因此其存在连续法向量场。

Mobius 带为经典的不可定向曲面。

有没有内蕴地（不借助外在空间地）对曲面定向的方式？等转系到数学系再说吧。

向量场在有向曲面的通量为

\[\iint_\Sigma\bf V(\bf x)\cdot\d\bf S=\iint_\Sigma\bf V(\bf x)\cdot\bf n\d S \]

例：水通量、电通量、磁通量。

一般来说，令参数方程删去第 \(i\) 行并重新 permutate 的 Jacobian 是 \(J_i\)，则 \(\bf n=(J_1,\dots J_m)\)（但是还要标准化）（但是标准化的过程其实与 \(\d S\) 抵消了）。\(\bf V(\bf x)\cdot\bf n\) 代入余子式的计算式，最终会发现其实就要算

\[\int_\Sigma\det[\bf V(\bf x)\quad J\bf F]\d t_1\dots\d t_{n-1} \]

\(V_i\times J_i\) 项其实就是 \(n-1\) 阶微分形式。具体而言，以 \(3\) 维空间中 \(2\) 阶微分为例：

\[\left(X\dfrac{\p(y,z)}{\p(u,v)}+Y\dfrac{\p(z,x)}{\p(u,v)}+Z\dfrac{\p(x,y)}{\p(u,v)}\right)\d u\d v \\=X(\d y\wedge\d z)+Y(\d z\wedge\d x)+Z(\d x\wedge\d y) \]

二阶微分形式是双线性、反对称函数场。

微分的楔积其实是在算投影的平行四边形的有向面积。

使用微分形式语言，有

\[\int_\Sigma\bf V\cdot\bf n\d S=\int_\Sigma\omega \]

对于保向微分同胚，第二型曲面积分的结果不变。即，若从 \((u,v)\) 换到 \((t,s)\)，则 \((\p_t\bf x,\p_s\bf x)=(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\dfrac{\p(u,v)}{\p(t,s)}\)，于是

\[\int_\Sigma\omega(\p_t\bf x,\p_s\bf x)\d t\d s \\=\int_\Sigma\omega(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\det\dfrac{\p(u,v)}{\p(t,s)}\d t\d s&(\omega的双线性性) \\=\int_\Sigma\omega(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\d u\d v&(重积分换元；前提是行列式保向) \]

其本质的分析例如，\(\d y\wedge\d z\)：若 \(y=y(u,v),z=z(u,v)\)，则

\[\d y\wedge\d z \\=(\p_uy\d u+\p_v y\d v)\wedge(\p_u z\d u+\p_vy\d v) \\=\dfrac{\p(y,z)}{\p(u,v)}\d u\wedge\d v \]

二维曲面的参数方程如何定向？假设参数化为 \(u,v\)，取一点并沿 \(u,v\) 方向取切向量，则 \(\p_u\times\p_v=\bf n\)，也即要保证切向量始终是 \(u,v\) 的叉积。如果发现方向不对要交换 \(u,v\) 顺序。也即，如果顺序是 \(u,v\)，那么 \(\d u\wedge\d v\) 可以直接去掉楔积符号；反之如果顺序是 \(v,u\)，那么 \(\d u\wedge\d v\) 要先反对称成 \(-\d v\wedge\d u\) 再去号。

具体流程：

1. 参数化。保证参数顺序 \(u,v\) 满足 \(\p_u\times\p_v=\bf n\)。
2. 把要求的式子中的变量全部代入 \(u,v\) 表示。楔积用线性性展开。
3. 调整顺序至 \(\d u\wedge\d v\)。
4. 去掉楔积符号。

除此之外，还可以把 \((x,y,z)\) 先换元为 \((x',y',z')\) 之类的使得曲面易于描述，之后再用参数方程描述曲面。

定义高维楔积

\[(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_n)(\bf V_1,\dots,\bf V_n)=\det\begin{bmatrix}\omega_1(\bf V_1)&\omega_1(\bf V_2)&\dots\\\omega_2(\bf V_1)&\omega_2(\bf V_2)&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\\\end{bmatrix} \]

其是多线性、反对称的，不论是关于 \(\omega\) 还是关于 \(\bf V\)。

\(k\) 阶微分形式

\[\omega=\sum_{i_1,\dots,i_k}F_{i_1,\dots,i_k}(x_1,\dots,x_n)\d x_{i_1}\wedge\dots\wedge\d x_{i_k} \]

于是对于向量场 \(\bf V_1,\dots,\bf V_k\)，

\[\omega(\bf V_1,\dots,\bf V_k)=\sum F\det\begin{bmatrix}\bf V_1[i]&\bf V_2[i]&\dots\end{bmatrix} \]

外微分

\[\d\omega=\sum\d F\wedge\d x_{i_1}\wedge\dots\wedge\d x_{i_k} \]

易验证

\[\d^2\omega=0 \]

对于 \(\R^m\) 上 \(m-1\) 阶微分形式

\[\omega=\sum\limits_{i=1}^m(-1)^{i-1}F_i(\bf x)\d x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\d x_i}\wedge\dots\wedge\d x_m \]

其中 \(\widehat{\d x_i}\) 意为仅有 \(\d x_i\) 一项未出现。\((-1)^{i-1}\) 其实是为了让楔积的顺序以 \(\d x_{i+1}\wedge\dots\wedge\d x_n\wedge\d x_1\wedge\dots\wedge\d x_{i-1}\) 的轮换式为正宗。

则

\[\d\omega=\left(\sum\limits_{i=1}^m\p_iF_i(\bf x)\right)\d x_1\wedge\dots\wedge\d x_m \]

此时，外微分的系数好似算散度。

Gauss 公式（散度定理）：对于 \(\R^m\) 中有界闭区域 \(\Omega\)，若其边界 \(\p\Omega\) 是 \(m-1\) 维分块光滑超曲面，则满足

\[\int_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf S=\int_\Omega\Div\bf V\d x_1\dots\d x_m \]

其中 \(\Div\bf V=\tr J\bf V\)。

或者，另一种描述方法是

\[\int_{\p\Omega}\omega=\int_\Omega\d\omega \]

其二维特例是 Green 公式，一维特例是 Newton-Leibniz 公式。

特别地，通过在很小区域上用中值定理，散度亦可被描述为，包含某点的区域在直径趋于 \(0\) 时，第二类曲面积分与区域体积的比值极限。

由 Gauss Theorem 推出 Buoyancy Law：

\[\bf F=\iint_{\p\Omega}\rho gz\bf n\d S=\iint_D\rho gz\det\begin{bmatrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\p_ux&\p_uy&\p_uz\\\p_v x&\p_vy&\p_vz\end{bmatrix}\d u\d v \]

其中，第一个等式是因为，单位面积的压强是 \(\rho gz\bf n\)，把面积微元的面积与压强求积然后积分即为总浮力。\(\bf n\) 可以被写成上述行列式除以余子式行列式，余子式行列式刚好把 \(\d S\) 变成 \(\d u\d v\)。

\[\\=\bf i\iint_D\rho gz\d y\wedge\d z+\bf j\iint_D\rho gz\d z\wedge\d x+\bf k\iint_D\rho gz\d x\wedge\d y \\=\bf k\iiint_\Omega\rho g\d x\wedge\d y\wedge\d z \\=Mg\bf k \]

就算 \(\rho\) 变成与 \(z\) 有关的 \(\rho(z)\)，也不过是把 \(\rho z\) 一项换成 \(\int_0^z\rho(t)\d t\) 的积分式罢了，因此上式在变密度时亦成立。

Stokes 公式：对于高维空间中的 二维 曲面 \(\Sigma\)，

\[\int_{\p\Sigma}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_\Sigma\Curl\bf V\cdot\d\bf S \]

……虽然感觉不如万能的

\[\int_{\p\Omega}\omega=\int_{\Omega}\d\omega \]

但是上式并非一无是处。

• Gauss 公式证明，上式适用于 \(\Omega\) 是与维数相同阶子空间的场合。
• Stokes 公式证明，上式适用于 \(\Omega\) 是二阶曲面的场合。
• 一般地，上式被称为广义 Stokes 公式。唯一的问题是，如何内蕴地定义一个集合的边界？答曰，边界必然比原集合降一维。

例如，从 \((a,0,0)\) 到 \((0,a,0)\) 到 \((0,0,a)\) 再返回的曲线，将其看成四棱锥的三侧面的边界，则

\[\int_\gamma y\d x+z\d y+x\d z=\iint_\Sigma\d y\wedge\d x+\d z\wedge\d y+\d x\wedge\d z \]

……所以，旋度到底是什么？

在 \(\R^3\) 的笛卡尔坐标系下，若 \(\bf V=(X,Y,Z)^T\)，则

\[\Curl\bf V=\det\begin{bmatrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\dfrac{\p}{\p x}&\dfrac\p{\p y}&\dfrac\p{\p z}\\X&Y&Z\end{bmatrix} \]

前提是必须要有空间是笛卡尔坐标系。

同时也有，旋度算子 \(\Curl\) 等价于算子 \(\nabla\times\)；散度算子 \(\Div\) 等价于算子 \(\nabla\cdot\)。

万能分析法：对于 \(\R^m\) 上的 \(k\) 维曲面 \(\Omega\)，其边界上 \(k-1\) 维内微分与内部的 \(k\) 维内微分依照如下法则可以互化：

• 将边界 \(k-1\) 维内微分转成 \(k-1\) 维外微分。
• 由一般的 Stokes 公式将边界 \(k-1\) 维外微分转成内部 \(k\) 维外微分。
• 将内部 \(k\) 维外微分转回 \(k\) 维内微分。

\(\nabla\times\nabla=0\)，梯度场是无旋场。本质是因为梯度是一阶外微分，再求外微分就是零。

\(\nabla\cdot(\nabla\times)=0\)，旋度场是无源场。

Laplace 算子 \(\Updelta=\nabla^2\)。

有心场 \(\bf F(\bf x)=f(\|\bf x\|)\bf x\) 均是无旋场。

一般坐标系下的微积分。

设一组基底 \(\bf e_1,\dots,\bf e_m\) 是基底，不一定是正交单位基。

\(\d x_1,\dots,\d x_m\) 是相应的对偶基，即

\[\d x_i(\bf e_j)=\begin{cases}1&(i=j)\\0&(\text{otherwise})\end{cases} \]

坐标系的基底不一定是定基底：其可以是活动标架。

向量场 \(\bf X=\sum\limits_{i=1}^mX_i\bf e_i\) 对偶于一阶微分形式 \(\omega_\bf X=\sum\limits_{i=1}^mA_j\d x_j\)，满足 \(\omega_\bf X(\bf v)=\bf X\cdot\bf v\)。

令 \(\bf v=\bf e_i\)，得到 \(A_i=\bf X\cdot\bf e_i=\sum\limits_{j=1}^nX_j\bf e_i\cdot\bf e_j=\sum\limits_{j=1}^nX_jG_{i,j}\)，其中 \(G\) 是 Gram 矩阵 \(\lang\bf e_i,\bf e_j\rang\)。反之，\(X_i=\sum\limits_{j=1}^nA_jG^{i,j}\)，其中 \((G^{i,j})\) 是 \((G_{i,j})\) 的逆矩阵。

\[\bf X_\omega=\sum\limits_{i,j}A_jG^{i,j}\bf e_i \\\d f=\sum_j\dfrac{\p f}{\p x_j}\d x_j \\\nabla f=\sum_{i,j}\dfrac{\p f}{\p x_i}G^{i,j}\bf e_j \]

微分与坐标和度量均无关；梯度与度量有关。

正交坐标系下，

\[\nabla f=\sum_i\dfrac{\p f}{\p x_i}\dfrac1{\sqrt{G_{i,i}}}\hat{\bf e}_i \]

如何算旋度？答曰：把向量场翻译为一阶微分形式；求外微分变成二阶微分形式；把二阶微分形式翻译为旋度。

首先思考二阶微分形式应该如何与旋度互化。

向量场 \(\bf X\) 对应于二阶微分形式 \(\omega(\bf u,\bf v)=\bf X\cdot(\bf u\times\bf v)\)。于是 \(A_1=X_1\bf e_1\cdot(\bf e_2\times\bf e_3)\)；同理，\(A_2=X_2\bf e_2\cdot(\bf e_3\times\bf e_1)\)，\(A_3\) 同理。反翻译也是可行的。

还是看看远处的级数吧！！！

数列无穷求和称为级数。数列中的元素不止可以来自常规的 \(\R,\C\) 之类，也可以来自一切赋范线性空间。

前 \(N\) 项和被称作部分和。收敛级数是部分和收敛的级数，称部分和的极限为级数的和。不收敛的级数是发散级数，其没有级数和。

数项级数是每一项均来自 \(\R\) 或 \(\C\) 的级数。

当 \(u_1,\dots\) 均是 \(I\) 上函数时，称其为函数项级数。函数项级数可以在 \(I\) 上逐点收敛，也可以关于函数线性空间上范数收敛。针对不同的范数，有一致收敛、平均收敛等定义。

函数项级数可以类比广义含参积分。

例如，\(S_n(x)=x^n\) 在 \(x\in(-1,1]\) 上逐点收敛，在任意 \([-a,a]\) 其中 \(a<1\) 上一致收敛，在 \((-1,1)\) 上并非一致收敛。

函数项级数逐点收敛，其极限函数也不一定连续，例如上述 \(S_n(x)\) 的极限 \(S(x)\) 就不连续。

例如，\(I\) 上函数的范数，有：

• 在 \(I\) 上最值。（或者说，上确界）这对应着一致收敛。
• 在 \(I\) 上积分值。这对应着平均收敛。

收敛级数的和满足线性、保序性（即若 \(u_n\leq v_n\) 则 \(\sum u_n\leq\sum v_n\)）

如何求级数？例如，几何级数（等比数列）\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n\)，可以用乘 \(x\) 法处理，但是 前提是已知该数列收敛。使用等比数列求和公式拟合级数，可以证明只有在单位圆盘内部的几何级数收敛。也可以用裂项法之类处理类似于 \(\sum\dfrac1{n(n+1)}\) 之类的求和。

级数收敛等价于 Cauchy 条件，即对于任意 \(\epsilon>0\)，存在 \(N_\epsilon\) 使得对于一切 \(N>N_\epsilon\) 和 \(p>0\)，有 \(\|S_{N+p}-S_N\|<\epsilon\)。

正项级数收敛当且仅当部分和数列有界。

Cauchy 条件推出收敛和 \(\|u_n\|\to0\)；反之，\(\|u_n\|\not\to0\) 推出不收敛；然而，\(\to0\) 不能推出收敛，典型如 \(u_n=\dfrac1n\)。注意，Cauchy 条件对于一切赋范线性空间均成立。

积分判别法：对于非负单调不增的 \(f\)，\(\sum f(n)\) 收敛当且仅当 \(\int f(x)\d x\) 收敛。

• 但是，\(\int f(x)\d x\) 收敛推不出 \(f(n)\to0\)（因为其可以在 \(f(n)\) 处搭帐篷），\(\sum f(x)\) 收敛却可以由 Cauchy 定理推出 \(f(n)\to0\)。

绝对收敛也即 \(\|u_n\|\) 收敛。例如，若 \(A\) 满足 Frobenius 范数 \(\|A\|_F<1\)，则 \(\sum A^n\) 收敛，可以通过绝对收敛证得。

比较法：若存在 \(M>0\)，\(N>1\) 使得对于一切 \(n\geq N\) 都有 \(\|u_n\|<Mv_n\)，则 \(\sum v_n\) 收敛推出 \(\sum u_n\) 收敛。

D'Alembert 比值判别法：若 \(\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|}<1\) 则级数绝对收敛，大于 \(1\) 则发散。证明考虑若极限是 \(p\) 则用 \(\|a_n\|q^m\) 描述 \(\|a_{n+m}\|\)。

Cauchy 根式判别法：\(\sqrt[n]{\|a_n\|}<1\) 则绝对收敛，\(>1\) 则发散。

进一步，引入上下极限的概念。上下极限 \(\overline\lim,\underline\lim\) 不是某个特定的值，其价值在比较过程中体现：

• \(\overline\lim\limits_{n\to+\infty}a_n<A\) 意味着存在 \(N\) 使得 \(\forall n>N\) 都有 \(a_n<A-\epsilon\)。
• \(\overline\lim\limits_{n\to+\infty}a_n>A\) 意味着存在无穷多个 \(a_n>A+\epsilon\)。
• 下极限同理。

扩展的 Cauchy 根式：\(\overline\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}<1\) 则绝对收敛。

\[\underline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{{a_n}}<\underline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\overline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\overline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{{a_n}} \]

因此 Cauchy 的效果总是优于 D'Alembert，但是开 \(n\) 次根很丑。

幂级数 \(\sum a_nz^n\) 存在收敛半径

\[R=\dfrac1{\overline\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \]

对于 \(|z|<R\) 其绝对收敛，\(|z|>R\) 其发散。

比值、根式判别法仅适用于判别敛散速度与等比数列相当的级数的收敛性。例如 \(n^{-x}\) 之类的则无法判定。

Raabe 判别法：如果 \(\underline\lim\limits_{n\to+\infty}n(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1)>1\) 则其收敛；如果上极限小于 \(1\) 则其发散。用于判别收敛速度慢于几何级数的级数敛散性。事实上，往往是用于 \(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1+\dfrac xn+o(n^{-2})\) 的场合的判定。

对于交错级数，可以相邻打包，打包和收敛不一定原级数收敛，需要额外补充项趋于 \(0\) 的充要条件。

Leibniz 判别法：对于非负单调不增的数列，其对应的交错级数收敛当且仅当通项趋于零。

Dirichlet 判别法：\(u\) 的部分和有界，\(v\) 单调趋于零，则二者积收敛。【Leibniz 是 Dirichlet 的特例】

Abel：\(u\) 收敛，\(v\) 单调有界，二者积收敛。

令条件收敛的实级数 \(a\)，则对于一切 \(A\in\R\cup\pm\infty\)，均可以重排 \(a\) 的项使其级数为 \(A\)。

将 \(a\) 拆成非负单降趋于零的 \(b\) 和非正单增趋于零的 \(c\)，则 \(b\) 发散向正无穷，\(c\) 发散向负无穷，然后类似归并地组合 \(b,c\) 即可使 \(\sum a\) 趋于你想要的值。

这表明，条件收敛的级数，交换律失效。然而，对绝对收敛的级数，交换律、结合律均有效。

对于重排 \(\sigma\)，左侧的部分和 \(S_n\)，映过去得到右侧部分和 \(T_m\)，再映回去得到左侧部分和 \(S_r\)，则有 \(S_n\leq T_m\leq S_r\)。收敛数列的子列与母列收敛至同值。

事实上，对于绝对收敛的 \(\sum u,\sum v\)，对于任意双射 \(\sigma:\N\to\N\times\N\)，有

\[\sum u_{\sigma_1(i)}v_{\sigma_2(i)}=\sum u\sum v \]

这是因为，\(\sigma\) 本质上是对 \(\sum u\sum v\) 展开的矩阵的重排。

类似卷积地，有 Cauchy 积

\[\sum_n\sum_{i+j=n}u_iv_j \]

Mertens 定理：若两函数均收敛且至少有一绝对收敛，则其 Cauchy 积收敛。

令矩阵 \(A,B\) 满足交换律，则有 \(\exp(A+B)=\exp A\exp B\).

函数项级数 \(\sum u_n(x)\rras I S(x)\) 意为其在定义域 \(I\) 上一致收敛，即任给一个 \(\epsilon\)，存在一个 \(N_\epsilon\)，使得 \(I\) 中的一切 \(x\) 都有当 \(n\geq N_\epsilon\) 时，\(\|\sum_{i=1}^nu_i(x)-S(x)\|<\epsilon\)。

一致收敛推出牛的性质：

• 若每个 \(u_n\) 均有界则 \(S\) 有界，且 \(u_n\) 一致有界。
• 每个 \(u_n\) 均在 \(x_0\) 连续则 \(S\) 亦在 \(x_0\) 连续。
• 进一步，极限可以和求和换序，即 \(\lim_{x\to a}\sum u_n(x)=\sum\lim_{x\to a}u_n(x)\)。
• 求和可以与 Riemann 积分换序：因为 Riemann 积分要求每一项 \(u_n(x)\) 有界，全体有界则 \(S\) 有界，\(S\) 的间断点集合又是 \(u_n(x)\) 间断点集合并集的子集，可数个零测集的并集仍是可数集，因此 \(S\) Riemann 可积，剩下的使用 \(S_N(x)\) 一致靠近 \(S\) 即可。

若每一个函数项均连续可导，且导函数一致收敛，且原函数在 \(I\) 中某处收敛。则原级数在 \(I\) 上任意有界闭集一致收敛，且导数可与级数换序。

一致收敛判定：满足一致 Cauchy 条件即可。

Wei 判别法：被一致绝对收敛函数控制。

所有有界函数 \(\scr B(I)\) 全体构成线性空间。

其上存在无穷范数 \(\|S(x)\|_\infty=\sup S\)。

\(S_n(x)\rras I S_n(x)\)，如果在无穷范数意义下趋于零。

\(\scr B(I)\) 关于无穷范数是完备的，即满足 Cauchy 条件。

\(\scr C(I)\sub\scr R(I)\sub\scr B(I)\)。完备空间的闭子集是完备空间，所以 \(\scr C(I),\scr R(I)\) 均是完备空间，自然可得连续函数一致极限仍连续，Riemann 可积函数一致极限仍 Riemann 可积。

对于有界闭的 \(I\)，\(\scr C^1(I)\) 按照范数 \(\|u\|_\infty+\|u'\|_\infty\) 完备。

对幂级数应用 Wei 判别法，可得其在收敛域内部一致收敛，且级数的导数和积分可以对于每一项分开求导数或积分得到。例如，\(\ln(1+x)\) 便可通过 \(\dfrac1{1+x}\) 逐项求导再作一些代换得到；\(\arctan x\) 可以通过 \(1-x^2+x^4\dots=\dfrac1{1+x^2}\) 逐项积分再作一些代换得到。\(e^x\) 的展开式 \(\sum\dfrac{x^n}{n!}\) 满足 \(S'=S\)，且易知 \(S(1)=1\) 所以由微分方程相关可知其唯一解即为 \(e^x\)。\(\sin x,\cos x\) 可以一起定义，满足二元微分方程组，其唯一解即为二者。

广义 Newton 二项式，定义 \(S_\mu(x)=\sum\dfrac{\mu^{\underline n}x^n}{n!}\)，则可解微分方程知 \(S_\mu(x)=(1+x)^\mu\)。反正弦的导数是广义 Newton 二项式。

D: \(u\) 求和一致有界，\(v\) 单调一致趋于 \(0\)；A: \(u\) 求和一致收敛，\(v\) 单调一致有界。

运用 Abel 判别法可以分析幂级数边界处的性质：若幂级数在 \(x_0\) 处收敛，则把幂级数化为 \(\sum a_nx_0^n\left(\dfrac x{x_0}\right)^n\)，前一半一致收敛，后一半单调一致有界，因此幂级数在 \([0,x_0]\) 上连续，因此如 \(\ln(1+x)\) 之类的式子，因为在 \(x=1\) 时亦收敛所以 \(\ln(1+x)\) 的式子可以被扩充至 \(x=1\)。

对于有正收敛半径 \(R\) 的幂级数 \(\sum a_nx^n\)，令 \(S(x)\) 为其和函数，则 \(a_n=\dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}\)，也即该级数是和函数的 Taylor 级数。

注意，是先有级数，后有和函数。例如，\(e^{-1/x^2}\) 的 Taylor 级数恒为零，故并非每个函数的 Taylor 级数都在收敛半径内收敛至其自身。

• 从级数构建和函数，和函数的 Taylor 级数必然是原级数。
• 从函数构建 Taylor 级数，Taylor 级数的和函数不一定是原函数。
• 这是因为，Taylor 级数只是多项式逼近，如果以慢于一切多项式的速率逼近则无法由 Taylor 级数刻画。

解析函数：在定义域中每个点 \(x_0\) 附近都可以展成收敛的幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)。解析函数都是 \(\scr C^\infty\) 函数。并非所有 \(\scr C^\infty\) 函数都是解析函数。复可微函数都是解析函数。

幂级数可以用于求一些微分方程幂级数形式的解。具体即设存在幂级数形式的解并比较系数即可。注意幂级数解并非通解。注意求得的解是建立在幂级数形式解存在的前提下的，因此必须回代验证其确实是解。注意求得的解必须验证其收敛半径，若收敛半径为零则亦非解。

虽然幂级数解并非通解，但是求得任一特解即可使用常数变易法降阶，故幂级数法是一种可行的求通解的思路。

幂级数应用：求 \(\sum\dfrac{\sin nx}{n}\)。

引理：\(\sum\dfrac{z^n}n\)，由 D'Alembert 其收敛半径为 \(1\)，由 Abel 其在 \(1\)-圆上刨除 \(1\) 附近的 \(\delta\)-距离点以外一致收敛。

于是把 \(\sum\dfrac{\sin nx}n\) 变成 \(\dfrac1{2i}(\sum\dfrac{e^{inx}}n-\sum\dfrac{e^{-inx}}{n})\)，则其在 \((0,2\pi)\) 上闭一致收敛。

于是 \(\sum\dfrac{\sin nx}n=\sum\int_\pi^x\cos nt\d t\)，然后把积分移出去即可。\(\sum\cos nx\) 可以乘以半角正弦然后积化和差并消掉，即 \(\sin\dfrac x2\cos nx=-\dfrac12(\sin(n-\tfrac12)x-\sin(n+\tfrac12)x)\)。

【另一种做法是，\(e^{inx}\) 的级数和可以用等比数列法简单得到，其实部和虚部分别为 \(\cos nx\) 和 \(\sin nx\) 的级数和 】

【为什么选择的积分界是 \(\int_\pi^x\)？为了让其始终保持在收敛域中。】

\(\sum\dfrac{\cos nx}{n^2}\)？首先由 Wei 其一致绝对收敛。有 \(\sum\dfrac{\cos nx}{n^2}=F(0)-\int_0^x\dfrac{\sin nt}n\d t=F(0)+\dfrac{x^2-2\pi x}4\)。

但是 \(F(0)\) 是什么？

两边在 \([0,2\pi]\) 上积分。左侧为零，右侧是 \(2\pi F(0)-\dfrac{\pi^2}{3}\)。然后知 \(F(0)=\dfrac{\pi^2}6\)。也即，\(\sum\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\)。

存在处处连续处处不可导函数。

构造方法：

全体 \([0,1]\to[0,1]\) 且满足 \(f(0)=0,f(1)=1\) 的连续函数构成一个集合 \(\scr S\)，且其是闭集。

构造 \(\scr S\) 到自身的一个映射：对于 \(f\)，将 \([0,1]\times[0,1]\) 拆成 \([0,\dfrac13]\times[0,\dfrac34],[\dfrac13,\dfrac23]\times[\dfrac14,\dfrac34],[\dfrac23,1]\times[\dfrac34,1]\) 三瓣，依次置入拉长的 \(f\)、翻转并拉长的 \(f\)、拉长的 \(f\)。显然其得到的新函数仍然属于 \(\scr S\)。

该映射关于无穷范数是压缩映射，其上存在不动点，而不动点是处处连续处处不可导函数，因为其上每个位置的竖直方向拉伸比率均超过水平方向比率。

将其拼接可得全局处处连续处处不可导函数。

\(e^z=\sum\dfrac{z^n}{n!}\) 可以被变换至任意 \(w\) 处的 Taylor 级数：\(e^{z-a}=\sum\dfrac{(z-a)^n}{n!}\)，于是 \(e^z=e^a\sum\dfrac{(z-a)^n}{n!}\)。然而这个推理是依靠 \(\exp\) 的特殊性质，并非对于所有函数均适用。

\(\dfrac1{1+x^2}=\sum(-1)^kx^{2k}\)；但是该 Taylor 级数展开仅在 \((-1,1)\) 上生效。这是为何？因为 \(\dfrac1{1+x^2}\) 虽然在实轴上处处有定义，但是在复平面上其并非全纯函数，进而其收敛半径被限制在奇点 \(\pm i\) 以内。

定理：令 \(D\) 为 \(\R^m\) 中开集，\(f:(a,b)\times D\to\R^m\) 连续，且存在 \(\lambda>0\) 使得 \(\|f(t,\bf x)-f(t,\bf y)\|\leq\lambda\|\bf x-\bf y\|\)（即对于每个 \(t\) 分别 Lipschitz 连续），则 \(\forall t_0\in(a,b),\bf x_0\in D\)，均存在 \(\delta>0\) 和唯一连续映射 \(\bf x:(t_0-\delta,t_0+\delta)\to\R^m\) 使得 \(\bf x(t)=\bf x_0+\int_{t_0}^tf(s,\bf x(s))\d s\)。

易验证该 \(\bf x(t)'=f(t,\bf x(t))\)。这表明，若有一元微分方程组 \(\bf x'=f(t,\bf x)\)，且其对于每个 \(t\) 满足 Lipschitz 连续，则其存在唯一解。

证明：考虑算子 \(\scr D\)，满足 \(\scr D\bf x(t)=\bf x_0+\int_{t_0}^tf(s,\bf x(s))\d s\)。易验证 \(\scr D\) 算子在 \(\delta\) 足够小时是函数空间上的压缩映射，因此在 \(t\) 的小邻域中其存在唯一不动点。

\(\scr D\) 虽然是压缩映射，但是由 \(\bf x_n\) 迭代出的 \(\bf x_{n+1}=\scr D\bf x_n\) 是否仍然落于函数空间内？也即，是否有 \(\bf x_{n+1}(t)\in D\)？

选取 \(t_0,\bf x_0\) 的充分小邻域：\(t_0\) 附近的 \(\delta\)-闭区间，\(\bf x_0\) 周围的 \(\beta\)-闭球。则 \(\|\scr D\bf x(t)-\bf x_0\|\leq M|t-t_0|\)，其中 \(M\) 是邻域最大范数。此式 \(\leq M\delta\)，因此可以先取一组 \(\delta,\beta\) 并求出 \(M\)，然后调小 \(\delta\)，调小 \(\delta\) 时 \(M\) 不增，因此必然可以寻到充分小的 \(\delta\)，使得存在 \(\beta\) 满足 \(\scr D\)-迭代后仍落在该邻域中。

有限维线性空间上范数彼此等价。

函数空间上范数彼此不等价。

常见范数有，\(\|f\|_\infty=\sup f\)，\(\|f\|_p=(\int f(x)^p\d x)^{1/p}\)，平均收敛 \(\|f\|_2\)，内积 \(\lang f,g\rang=\int f(x)\overline{g(x)}\d x\)（上面加线意味着取共轭，适用于复数值函数）及其引导范数之类，它们彼此不等价。

事实上，\(\lang\cdot,\cdot\rang\) 是平方可积函数 \(\|\cdot\|_2<+\infty\) 线性空间上的一组内积。

\(\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}\overline{e^{inx}}\d x=\begin{cases}2\pi&(m=n)\\0&(m\neq n)\end{cases}\)，因此所有的 \(e^{inx}\) 彼此正交。

进一步，\(\int_{-\pi}^\pi\cos mx\sin nx=0\)（一偶一奇），对于 \(m\neq n\) 有 \(\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nx\d x=0\)，通过积化和差处理；\(\sin\) 同理。既然它们彼此正交，是否可以作为基底呢？

弹簧振子满足胡克定律 \(my''=-ky\)，其通解为 \(y(x)=A\cos\sqrt{k/m}x+B\sin\sqrt{k/m}x\)，可以看作匀速圆周运动在一维直线上投影。

求弦振动方程的解，已知存在一类 \(\sin\)、\(\cos\) 引导的驻波解，则其线性组合都是解；因为三角函数的正交性，可以由它们的 \(\sin\)、\(\cos\) 乘以系数得到全体解（的级数形式）

设

\[f(x)=\dfrac{a_0}2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \]

是 \(2\pi\) 周期可积函数

则

\[\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d x=\pi a_n \\\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\d x=\pi b_n \]

因此给定展开，可以由与 \(\cos nx,\sin nx\) 点积求出系数。对于任意 \(2\pi\) 周期函数，令 \(a_n(f)=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d x\)，\(b_n(f)=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\d x\)，二者称为 Euler-Fourier 级数；\(f(x)\) 可以展成级数，但是级数会收敛到 \(f(x)\) 吗？

若 \(f(x)\) 是偶函数，那么 \(b_n=0\)，称为余弦级数；奇函数则 \(a_n=0\)，称为正弦级数。

例如，在 \([-\pi,\pi]\) 上为 \(x^2\) 的 \(2\pi\)-周期函数，通过 \(a_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx\d x\) 得到 \(a_n=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\)，而 \(a0=\dfrac{2\pi^2}3\)。于是有余弦级数展开 \(f\sim\dfrac{\pi^2}3+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx\)。【注意，如果想用 \(\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d x\) 的标准展开，那么 \(a_0\) 需要被除以 \(2\) 才适用】

事实上，对于 \([0,\pi]\) 上的好函数，可以将其延拓至 \([-\pi,\pi]\) 上的偶/奇函数，进而有其对应之余弦/正弦级数展开。

对于一般的 \(T\) 周期函数 \(f(x)\)，可以使用 \(f(\dfrac{Tx}{2\pi})\) 处理为 \(2\pi\) 周期函数，其中 \(a_n=\dfrac2T\int_0^Tf(t)\cos\dfrac{2\pi nt}T\d t,b_n=\dfrac2T\int_0^Tf(t)\sin\dfrac{2\pi nt}T\d t\)。

例如在 \([0,L]\) 上为 \(0\)，\([L,\pi]\) 上为 \(1\) 的“方波”函数也可以被 \(\sum\dfrac{\sin nx}n\) 这样趋于 \(\pi-x\) 的东西拟合。事实上，该函数满足 Fourier 级数与原函数相等。

但是展开是否必然相等？

对于无限维线性空间，其中有一组个数无限正交向量 \(\bf e_1,\bf e_2,\dots\)；考虑其张成空间内的 \(\bf v=a_1\bf e_1+a_2\bf e_2+\dots\)，则两边与 \(\bf e_n\) 内积得到 \(a_n=\dfrac{\bf v\cdot\bf e_n}{\bf e_n\cdot\bf e_n}\)，称为 \(\bf v\) 关于 \(\bf e_1,\bf e_2,\dots\) 的 Euler-Fourier 系数。

考虑前 \(n\) 个 \(\bf e_i\) 张成有限维线性空间 \(W_n\) 内投影 \(\bf v_n\)，则 \(\|\bf v-\bf v_n\|=\min\limits_{\bf w\in W_n}\|\bf v-\bf w\|\)（换言之 \(\bf v_n\) 是后者的 \(\arg\min\)），那么 \(\|\bf v\|^2\geq\|\bf v_n\|^2\)。【Bessel 不等式】

因此级数 \(\sum\dfrac{(\bf v\cdot\bf e_n)^2}{\bf e_n\cdot\bf e_n}\) 收敛至不超过 \(\|\bf v\|^2\) 的某处。【Bessel 不等式的另一种形态】

若 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\|\bf v_n\|^2=\|\bf v\|^2\)，则 Bessel 不等式取等号，得到 Parseval 等式。

\(\scr L^2[0,2\pi]\) 上有相应的 Bessel 不等式和 Parseval 等式依次为

\[\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty a_n^2+b_n^2\leq\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\d x \\\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty a_n^2+b_n^2=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\d x \]

前者恒成立，后者成立否？

对 \(f+g,f-g\) 应用 Parseval 等式【\(\lang f\pm g,f\pm g\rang=\|f\|^2+\|g\|^2\pm2\lang f,g\rang\)】，可知 Parseval 等式 \((P)\) 恒成立，等价于下式恒成立，其中 \(f\) 展成 \(a,b\)，\(g\) 展成 \(c,d\)：

\[\dfrac{a_0c_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_nc_n+b_nd_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\d x\quad(Q) \]

若 \(f,g\) 都满足 \((P)\)，且二者满足 \(\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)=0\)，则 \(f+g\) 满足 \((P)\)。由 Fourier 展开的线性性，易知。

另一方面，对 \(f\pm g\) 应用 \((B)\)，可知 \(\pm\left(\dfrac{a_0(f)a_0(g)}2+\sum(a_n(f)a_n(g)+b_n(f)b_n(g)\right)\leq0\)，因此其等于 \(0\)。

进而 Parseval 等式成立。

对于 Riemann 可积函数，其因有界必然平方可积，然后其上 Riemann 积分可以由阶梯逼近。阶梯函数是在某一段上为一其余均为零的函数，由前述证明其可以由 Fourier 级数收敛得到，因此 Riemann 可积函数均可以展成 Fourier 级数。【上述证明表明，两个满足 P 等式的函数求和也满足 P 等式】

方波满足 P 等式，方波线性组合满足 P 等式，方波线性组合分别用 Darboux 上和和 Darboux 下和逼近 Riemann 函数亦满足 P 等式。

P 等式不仅保证 Riemann 函数的 Fourier 级数收敛至自身，更可以用于求一些级数的和。例如，在 \([0,\pi]\) 上为 \(1\) 的奇函数，其正弦级数为 \(\dfrac4\pi\sum\dfrac{\sin nx}{2n-1}\)，其相关的 P 等式可以用于求 \(\sum\dfrac1{(2n-1)^2}\)。【当然，也可以由 \(\sum\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\) 求】

数列 \((a_0,a_1,b_1,\dots)\) 的内积可以被定义为 \(\pi(\dfrac{a_0a_0'}{2}+\sum(a_na_n'+b_nb_n'))\)，则该内积定义了数列到 \(\scr L^2[-\pi,\pi]\) 上的等距同构，其保内积进而保模长。这表明，对于平方可积函数，其信息虽然是与实数同阶的 \(\aleph_1\) 的，但是可以被压缩为数列的 \(\aleph_0\) 的，进一步可以取其一段前缀得到良好的逼近。

若某 \(f\) 的 Fourier 级数满足数项级数 \(\sum a_n,\sum b_n\) 绝对收敛，则 Fourier 级数一致收敛，且和函数连续。但是它收敛到的 \(g\) 与 \(f\) 有何关系？

• 当 \(f\) 连续时，\(f=g\)。【仅要求 Fourier 级数一致收敛即可】

\(\|S_n(f)-g\|_\infty\to0\)。

\(\|S_n(f)-g\|_2\leq\sqrt{2\pi\|S_n(f)-g\|_\infty^2}\to0\)。

因此，\(f,g\) 在二范数下相等，则 \(\int(f-g)^2\d x=0\)。因为 \(f,g\) 均连续所以差相等，连续函数积分为零则必须处处为零。

进一步，分段连续可微的 Fourier 级数一致收敛至自身。

连续分段光滑->Fourier 系数绝对收敛->Fourier 级数一致收敛->Fourier 级数收敛至连续函数，即为自身。

若 \(f(x)\sim\dfrac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)，对其形式求导得到 \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-na_n\sin nx+nb_n\cos nx)\)，因此希望有 \(nb_n=A_n,-na_n=B_n\)。

\(A_n=\dfrac1\pi\int_0^{2\pi}f'(x)\cos nx\d x\)，分部积分得到 \(A_n=\dfrac n\pi\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\d x=nb_n\)，\(B_n\) 同理。

因此形式求导就是真正求导。

故，\(\sum|a_n|+|b_n|\leq\sum\dfrac{|A_n|}n+\dfrac{|B_n|}n\)。

事实上，分段 \(\scr C^1\) 的 \(2\pi\) 周期函数，其 Fourier 级数逐点收敛，且：

• \(S(x)\) 在连续处收敛至自身，在间段处收敛至左右极限的均值。
• 事实上，等价于于处处收敛于左右极限均值。【原因：平移使得跳跃间断点变成连续，然后再平移回去即可】

Dirichlet 定理：有界、分段连续、分段单调的函数，满足上述条件。

Dini 定理：令绝对可积 \(f\) 满足 \(\int_{0^+}\left|\dfrac{f(x-t)-f(x^-)+f(x+t)-f(x^+)}t\right|\d t\) 可积，

存在连续函数，Fourier 级数至少在一点发散。

存在可积函数，Fourier 级数处处发散。

对于每个 \(\scr L^p(p>1)\) 函数，其 Fourier 级数几乎处处收敛于 \(f\)。

因此，要想得知 Fourier 级数收敛，需要补充额外的条件；补充分段光滑可行；由 Dirichlet 定理，补充分段连续、分段单调可行。

若 \(\sum n^p(|a_n|+|b_n|)\) 收敛，则 Fourier 级数的和函数在 \([0,2\pi]\) 上是 \(\scr C^p\) 的，且可以逐项求导。

若 \(f\) 分段连续，则 \(f\) 的积分可以由 Fourier 级数逐项积分得到，且结论无需 \(f\) 的 Fourier 级数收敛。

总结：所有 Riemann 可积的函数的 Fourier 级数均均方收敛（但是均方收敛弱于逐点收敛），且满足 Parseval 等式；并非所有 Fourier 级数均逐点收敛。补充条件可以得到其逐点收敛。

等周不等式：\(4\pi A\leq L^2\)。

对简单封闭 \(\scr C^2\) 曲线 \((x(t),y(t))\)，可以描述其面积与长度。

不妨令 \(L=2\pi\)，并且弧长参数化曲线，则此时 \(x,y\) 均为 \(2\pi\) 周期函数。

\(x(t),y(t)\) 与 \(x'(t),y'(t)\) 均可 Fourier 展开，且均收敛至自身。面积可以用 Fourier 极限描述，即可得到其展开。

其最终得到结果仅能处理 \(\scr C^2\) 曲线的场合，单纯的 \(\scr C^1\) 曲线需要其它分析。

二阶导是 \(2\pi\) 周期函数空间上的一个对称线性变换。若其拥有特征值 \(-y''=\lambda y\)，易验证：

• \(\lambda<0\) 时解非 \(2\pi\) 周期。
• \(\lambda\geq0\) 时当且仅当 \(\lambda=n^2\) 时解是有界 \(2\pi\) 周期解，此时解为 \(\cos(n\pi)\) 和 \(\sin(n\pi)\)，二者即为其特征函数。

事实上，对于线性映射 \(A\)，若其存在特征函数 \(\bf e_1,\dots,\bf e_n,\dots\) 与特征值 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n,\dots\)，在求解 \((A-\lambda)\bf y=\bf b\) 的场合时，可以对 \(\bf y,\bf b\) 特征分解并处理即可。

若 \(\lambda\) 是某个特征值，则其有无穷多解，否则只有唯一解。